正弦余弦定理的题① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12 ② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b＜c 求b c③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:19:02
正弦余弦定理的题① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12 ② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b＜c 求b c③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
正弦余弦定理的题
① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12
② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b＜c 求b c
③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
正弦余弦定理的题① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12 ② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b＜c 求b c③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
第一个问题：
∵3a＝√3b＝12,∴a＝4、b＝4√3,又A＝30°,∴sinA＝1/2,cosA＝√3/2.
由正弦定理,有：b/sinB＝a/sinA,
∴4/sinB＝4√3/sim30°＝4√3/（1/2）＝8√3,∴sinB＝4/（8√3）＝1/（2√3）＝√3/6.
∴cosB＝√33/6,或cosB＝－√33/6.
一、当cosB＝√33/6时,有：
cosC
＝cos（180°－B－A）＝－cos（B＋A）＝sinBsinA－cosBcosA
＝（√3/6）×（1/2）－（√33/6）×（√3/2）＝√3/12－√11/4.
∴由余弦定理,有：
c^2
＝a^2＋b^2－2abcosC＝16＋48－2×4×4√3×（√3/12－√11/4）＝64－8＋8√33＝56＋8√33,
∴c＝2√（14＋2√33）.
二、当cosB＝－√33/6时,有：
cosC
＝cos（180°－B－A）＝－cos（B＋A）＝sinBsinA－cosBcosA
＝（√3/6）×（1/2）－（－√33/6）×（√3/2）＝√3/12＋√11/4.
∴由余弦定理,有：
c^2
＝a^2＋b^2－2abcosC＝16＋48－2×4×4√3×（√3/12＋√11/4）＝64－8－8√33＝56－8√33,
∴c＝2√（14－2√33）.
第二个问题：
∵b＋c＝6,∴b^2＋c^2＋2bc＝36.······①
由余弦定理,有：b^2＋c^2－2bccosA＝a^2,∴b^2＋c^2－（1/2）bc＝16.······②
由①、②,得：（5/2）bc＝20,∴bc＝8.
∵b＋c＝6、bc＝8,∴由韦达定理可知,b、c是方程x^2－6x＋8＝0的根.
由x^2－6x＋8＝0,得：（x－4）（x－2）＝0,∴x＝4,或x＝2.
∴b、c中一者是4,另一者是2,即：b＝4、c＝2；或b＝2、c＝4.
第三个问题：
当B是△ABC中最大或最小的角时,△ABC是等边三角形,此时最大边和最小边的比是1∶1.
与题目给定的条件相矛盾.
不失一般性,设A最大,则C最小,∴a最大,c最小,∴a/c＝（√3＋1）/2.
∴结合正弦定理,容易得出：sinA/sinC＝（√3＋1）/2,
∴2sinA＝（√3＋1）sinC＝（√3＋1）sin（180°－B－A）＝（√3＋1）sin（B＋A）,
∴2sinA＝（√3＋1）sin（60°＋A）＝（√3＋1）（sin60°cosA＋cos60°sinA）,
∴2sinA＝（√3＋1）［（√3/2）cosA＋（1/2）sinA］,
∴4sinA＝（√3＋1）√3cosA＋（√3＋1）sinA,
∴（3－√3）sinA＝（√3＋1）√3cosA,
∴（√3－1）sinA＝（√3＋1）cosA,
∴（3－1）sinA＝（√3＋1）^2cosA＝（3＋2√3＋1）cosA＝（4＋2√3）,
∴tanA＝2＋√3,∴A＝75°,∴△ABC中的最大角是75°.