已知sina+sinb=根号2/2,求cosa+cosb的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:01:04
已知sina+sinb=根号2/2,求cosa+cosb的取值范围.
已知sina+sinb=根号2/2,求cosa+cosb的取值范围.
已知sina+sinb=根号2/2,求cosa+cosb的取值范围.
答：
sina+sinb=√2/2
两边平方得：
sin²a+2sinasinb+sin²b=1/2…………（1）
设cosa+cosb=m
两边平方得：
cos²a+2cosacosb+cos²b=m²…………（2）
（1）加（2）得：
2+2cos(a-b)=m²+1/2
所以：cos(a-b)=m²/2-3/4
因为：-1
设sina+sinb=x，cosa+cosb=y，则
x²+y²=(sin²a+cos²a)+(sin²a+cos²a)+2(cosacosb+sinasinb)=2+2cos(a-b)
又x²=(sina+sinb)²=1/2
于是y²=3/2+2cos(a-b)≤7/2<...
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设sina+sinb=x，cosa+cosb=y，则
x²+y²=(sin²a+cos²a)+(sin²a+cos²a)+2(cosacosb+sinasinb)=2+2cos(a-b)
又x²=(sina+sinb)²=1/2
于是y²=3/2+2cos(a-b)≤7/2
所以-√14/2≤y=cosa+cosb≤√14/2
又当a=b时sina=√2/4，cosa=cosb=±√14/4，cosa+cosb=±√14/2
所以-√14/2≤cosa+cosb≤14/2
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(sina+sinb)²=sin²a+sin²b+2sinasinb ①
(cosa+cosb)²=cos²a+cos²b+2cosacosb ②
①+②
(1/2)+(cosa+cosb)²=2+2cos(a-b)
(cosa+cosb)...
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(sina+sinb)²=sin²a+sin²b+2sinasinb ①
(cosa+cosb)²=cos²a+cos²b+2cosacosb ②
①+②
(1/2)+(cosa+cosb)²=2+2cos(a-b)
(cosa+cosb)²=3/2+2cos(a-b)
-1≤cos(a-b)≤1
-1/2≤(cosa+cosb)²≤7/2
(cosa+cosb)²≤7/2<=>-√14/2≤cosa+cosb≤√14/2
cosacosb∈[-√14/2,√14/2]
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