已知a,b,c属于正R,求(aˇbˇ+bˇcˇ+cˇaˇ)/a+b+c大于等于abcˇ是平方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 12:27:38
已知a,b,c属于正R,求(aˇbˇ+bˇcˇ+cˇaˇ)/a+b+c大于等于abcˇ是平方
已知a,b,c属于正R,求(aˇbˇ+bˇcˇ+cˇaˇ)/a+b+c大于等于abc
ˇ是平方
已知a,b,c属于正R,求(aˇbˇ+bˇcˇ+cˇaˇ)/a+b+c大于等于abcˇ是平方
因为a,b,c为正实数,故可利用均值不等式.题中a,b,c有可能相等,过程中要带等号.
由均值定理可得：
a^2b^2+b^2c^2≥2ab^2c
故：（a^2b^2+b^2c^2)/2≥ab^2c …①
同理可得：(a^2c^2+b^c^2)/2≥abc^2 …②
（a^2b^2+a^2c^2)/2≥a^2 bc …③
① +② +③得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ≥ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
从而a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
即：（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）/(a+b+c) ≥abc.
关于均值不等式：a,b均为正实数,则有a+b≥2√(ab),当a=b时取等号.
由均值定理可得：
a^2b^2+b^2c^2≥2ab^2c
故：（a^2b^2+b^2c^2)/2≥ab^2c …①
同理可得：(a^2c^2+b^c^2)/2≥abc^2 …②
（a^2b^2+a^2c^2)/2≥a^2 bc …③
① +② +③得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ≥ab^2c+ abc^2+ a^2 bc...
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由均值定理可得：
a^2b^2+b^2c^2≥2ab^2c
故：（a^2b^2+b^2c^2)/2≥ab^2c …①
同理可得：(a^2c^2+b^c^2)/2≥abc^2 …②
（a^2b^2+a^2c^2)/2≥a^2 bc …③
① +② +③得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ≥ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
从而a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
即：（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）/(a+b+c) ≥abc.
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