一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:32:02
一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
一道初二勾股定理题【内含图
已知△ABC为等边三角形
P为△内任意一点
AP=4
CP=2
BP=2根号3
求S△ABC
一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
如图,将△PAB绕点A逆时针旋转60°,得到△P'AC,连结P'B
则△P'AC≌△PAC,∴AP'＝AP＝4,CP'＝BP＝2√3,∠ACP'＝∠ABP,∠P'AC＝∠PAB
∵∠PAB＋∠PAC＝60°,∴∠P'AC＋∠PAC＝60°
∴∠PAP'＝60°,∴△APP'是等边三角形
∴PP'＝AP＝4,∠APP'＝60°
在△PCP'中,∵CP²＋CP'²＝2²＋(2√3)²＝16,PP'²＝4²＝16
∴CP²＋CP'²＝PP'²,∴△PCP'是直角三角形,∠PCP'＝90°
又PP'＝2CP,∴∠PP'C＝30°,∠CPP'＝60°
∴∠APC＝120°
∵∠PCP'＝90°,∴∠ACP＋∠ACP'＝90°
∴∠ABP＋∠ACP＝90°
又∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝60°,∠ACB＝∠ACP＋∠PCB＝60°
∴∠PBC＋∠PCB＝30°,∴∠BPC＝150°
∴∠APB＝90°,∴AB²＝AP²＋BP²＝4²＋(2√3)²＝28
∴S△ABC＝1/2×AB×√3/2AB＝√3/4AB²＝√3/4×28＝7√3
将三角形ABP绕A逆时针旋转60°，则B转到C，并设P旋转到Q，则易知三角形APQ为等边三角形。
所以PQ=AP=4,QC=PB=2√3,PC=2。可知：PQ²=QC²+PC²，PQ=2PC
所以三角形PQC为直角三角形且∠PQC=30°，所以∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°.
所以AC²=AQ²+QC²=16...
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将三角形ABP绕A逆时针旋转60°，则B转到C，并设P旋转到Q，则易知三角形APQ为等边三角形。
所以PQ=AP=4,QC=PB=2√3,PC=2。可知：PQ²=QC²+PC²，PQ=2PC
所以三角形PQC为直角三角形且∠PQC=30°，所以∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°.
所以AC²=AQ²+QC²=16+12=28，即AC=2√7.
所以三角形ABC的面积为√3÷4×AC²=21.
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