知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置,求 A的立方

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/28 20:27:39
知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于的特征向量是,求.其中属于-2的特征向量是a=(101)的转置,求A的立方知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于的特征向量是,求.其中

知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置,求 A的立方
知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .
其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置,求 A的立方

知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置,求 A的立方
A为实对称矩阵,即A'=A
那么(A^3)'=A'A'A'=AAA=A^3,得A^3也为实对称矩阵
向量a=(1 0 1)是特征值λ=2对应的特征向量
(A^3)a=(A^2)(Aa)=(A^2)(λa)=(λA)(Aa)=(λA)(λa)=(λ^2)(Aa)
=(λ^2)(λa)=λ^3a
故A^3的特征值为1,1,-8,A^3的特征值-8所对应的特征向量仍为
a=(1 0 1)
好了,下面可以列方程了,
设A^3为
a d e
d b f
e f c
由(A^3)a=λa,其中a=(1 0 1),λ=-8
可以得到三个方程
a+e=-8
d+f=0
e+c=-8
E-λA=
λ-a -d -e
-d λ-b -f
-e -f λ-c
进行代换化简可以得到
|E-λA|=(λ+8)[(λ-a+e)(λ-b)-2d^2]=(λ-1)(λ-1)(λ+8)
联系各方程,

楼上的方法过于复杂,其实构造出A的特征向量会使问题简单。
由于实对称阵相似于一个对角阵。由A可对角化知道它有n个特征向量线性无关。而属于不同特征值的特征向量是正交的,由属于-2的特征向量为a=(1,0,1)转置,可以构造b=(0,1,0)转置,c=(1,0,-1)转置作为1的特征向量(因为b,c都与a正交且a,b,c线性无关)。这样令P=(a,b,c),P^(-1)*A*P=diag(-2...

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楼上的方法过于复杂,其实构造出A的特征向量会使问题简单。
由于实对称阵相似于一个对角阵。由A可对角化知道它有n个特征向量线性无关。而属于不同特征值的特征向量是正交的,由属于-2的特征向量为a=(1,0,1)转置,可以构造b=(0,1,0)转置,c=(1,0,-1)转置作为1的特征向量(因为b,c都与a正交且a,b,c线性无关)。这样令P=(a,b,c),P^(-1)*A*P=diag(-2,1,1),在这个式子等号2边立方有P^(-1)*A
^3*P=diag(-8,1,1),算得A=P*diag(-8,1,1)*P^(-1)=
-7/2 0 -9/2
0 1 0
-9/2 0 -7/2
我验算过了,没错。

收起

设A是3阶实对称矩阵,且A的特征值是1,1,-1则A*100=? 实对称矩阵 特征值设A是3阶实对称矩阵 启特征值为1,1,-1,且对应的特征向量为a=(1,1,1)b=(2,2,1)求A=? 二阶矩阵A是实对称矩阵,特征值分别为1和2,当特征值取1时,特征向量为(1,2)T,求A. 3阶实对称矩阵A的三个特征值为2,5,5,A的属于特征值2的特征向量是(1,1,1)则A的属于特征值5的特征向量是? 设3阶实对称阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的对应与特征值1,2的特征向量分别为(-1,-1,1)T,(1,-2,-1)T.求矩阵A 设A是秩为1的3阶实对称矩阵,且A的各行元素之和均为2,则A的特征值为? 设α是n阶对称矩阵A属于特征值λ的特征向量,求矩阵(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量 知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置,求 A的立方 设3阶实对称矩阵A的特征值分别是1,2,-2,a=(1,-1,1)'是A属于特征值1的一个特征向量,如何求出另外2个特征量? 设A是3阶实对称矩阵,满足A∧2=3A,且R(A)=2,那么矩阵A的三个特征值是? A是n阶实对称矩阵,由A²=E,如何推出A的特征值只能是1或—1? 已知3阶矩阵A的特征值为1、2、-3,则它的逆矩阵的特征值是? 设A是n阶实对称矩阵,证明:(1)A的特征值全是实数;(2)若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是A的属于特征值r的特征向量,则矩阵(P^-1AP)^T设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是A的属于特征值r的特征向量,则矩阵(P^-1AP) 求一道线性代数矩阵的特征值问题已知A是3阶实对称阵,且满足A²+2A=0,为什么A的特征值是0和-2?这两个特征值是怎么求出来的? 线性代数,对称矩阵的证明题如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明:A一定是单位矩阵 答案是这样的,有点不懂的地方:因为A^3=En 所以A的特征值一定是x^3=1的实根(1.是不是因为对应的多项式为f 已知三阶对称矩阵A的特征值为1,-2-3则|A-1|= 设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 ,已知n维列向量β是属于特征值λ的特征限量,则矩阵(P^( -1) AP)倒置的上面问题只显示了一半设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 已知n维列向量β是属于特征