求一道数学几何题初中的设D E F 分别为直角三角形ABC(C为直角顶点)的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 22:06:50
求一道数学几何题初中的设D E F 分别为直角三角形ABC(C为直角顶点)的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了
求一道数学几何题初中的
设D E F 分别为直角三角形ABC(C为直角顶点)的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了
求一道数学几何题初中的设D E F 分别为直角三角形ABC(C为直角顶点)的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了
延长FD、AC相较于G,延长DF至H,连BH,使BH//AC.
易得,BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时,BH/GA=BF/FA,
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入,可得
AG=2CG,即AC=CG,
又DC垂直于AG,
于是得到角ADC=角GDC=角BDF
上图
.....................
把图发一下
延长FD、AC相较于G,延长DF至H,连BH,使BH//AC。
易得,BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时,BH/GA=BF/FA,
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入,可得
AG=2CG,即A...
全部展开
延长FD、AC相较于G,延长DF至H,连BH,使BH//AC。
易得,BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时,BH/GA=BF/FA,
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入,可得
AG=2CG,即AC=CG,
又DC垂直于AG,
于是得到∠ADC=∠GDC=∠BDF
好了,完成了
收起
我看不懂那个是条件哪个是结论所以两种都整一遍 一、当∠CDA=∠FDB,证明AE=2CE, 作GF⊥BC,∴△BGF∽△BCA,∴AF/BF=CG/BG,BG/BC=GF/AC ∵∠CDA=∠FDG,∠ACD=∠FGD=90°, ∴△ACD∽△FGD ∴DG/CD=GF/AC=BG/BC, ∴DG*BC=BG*CD ∵AD,BE,CF交于O点 ∴由赛瓦定理可知,(AE/CE)*(CD/BD)*(BF/AF)=1 ∴AE/CE=(AF/BF)*(BD/CD)=(CG/BG)*(BD/CD)=(BD*CG)/(BG*CD) =(BG+DG)*(CD+DG)/(BG*CD) =[BG*CD+(BG+CD)*DG+DG^2]/(BG*CD) =1+DG*(DG+BG+CD)/(BG*CD) =1+(DG*BC)/(BG*CD)=1+1=2 ∴AE=2CE 二、当AE=2CE,证明∠CDA=∠FDB 作GF⊥BC,∴△BGF∽△BCA,∴AF/BF=CG/BG,BG/BC=GF/AC ∵AD,BE,CF交于O点 ∴由赛瓦定理可知,(AE/CE)*(CD/BD)*(BF/AF)=1 ∴AE/CE=(AF/BF)*(BD/CD)=(CG/BG)*(BD/CD)=(BD*CG)/(BG*CD) =(BG+DG)*(CD+DG)/(BG*CD) =[BG*CD+(BG+CD)*DG+DG^2]/(BG*CD) =1+DG*(DG+BG+CD)/(BG*CD) =1+(DG*BC)/(BG*CD)=2 ∴(DG*BC)/(BG*CD)=1 ∴DG/CD=BG/BC=GF/AC ∵∠ACD=∠FGD=90° ∴△ACD∽△FGD ∴∠ADC=∠FDB