在数列{an}中,an>0,2√Sn=an+1,n∈正整数,1 求 Sn和an的表达式2求证：S1分之一+S2分之一+S3分之1+.+Sn分之一＜2.2后面的是根号
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 13:28:25
在数列{an}中,an>0,2√Sn=an+1,n∈正整数,1 求 Sn和an的表达式2求证：S1分之一+S2分之一+S3分之1+.+Sn分之一＜2.2后面的是根号
在数列{an}中,an>0,2√Sn=an+1,n∈正整数,
1 求 Sn和an的表达式
2求证：S1分之一+S2分之一+S3分之1+.+Sn分之一＜2.
2后面的是根号
在数列{an}中,an>0,2√Sn=an+1,n∈正整数,1 求 Sn和an的表达式2求证：S1分之一+S2分之一+S3分之1+.+Sn分之一＜2.2后面的是根号
∵2√Sn=an+1,
∴Sn=(an+1)^2 /4
∴S(n-1)=(a(n-1)+1)^2 /4
两式相减,得到
an=Sn-S(n-1)= 1/4*(an^2-a(n-1)^2) + 1/2*(an-a(n-1))
化简得
(an+a(n-1))*(an-a(n-1)-2)=0,
由于任意an>0,所以
an-a(n-1)-2=0,
即an=2+a(n-1),即an是等差数列,且由
2√S1=a1+1可以求出a1=1,
因此an和Sn的表达式分别为
an=1+2*(n-1)=2n-1,
Sn=1+3+..+2n-1=n^2.
1/S1+1/S2+...+1/Sn = 1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
< 1/1+1/1*2+1/2*3+...+1/(n-1)*n
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)
=2-1/n
（1）：
an>0;
sn>0;
4sn=(an+1)^2,
4s(n-1)=[a(n-1)+1]^2,
an=sn-s(n-1)={(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2}/4
所以，整理得到：
(an-1)^2=[(a(n-1)+1]^2
先来去平方符号：
因为an>0,假如：an-1<0那么-1
全部展开
（1）：
an>0;
sn>0;
4sn=(an+1)^2,
4s(n-1)=[a(n-1)+1]^2,
an=sn-s(n-1)={(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2}/4
所以，整理得到：
(an-1)^2=[(a(n-1)+1]^2
先来去平方符号：
因为an>0,假如：an-1<0那么-1
显然假设不成立，所以：
(an-1)^2=[(a(n-1)+1]^2中有：
an-1=a(n-1)+1
所以：an-a(n-1)=2
当n=1的时候：2√Sn=an+1
4a^2=(a1+1)^2
a1=1或者a=-1/3（舍去）
所以：等差数列an=2n-1
sn=n^2
（2）：S1分之一+S2分之一+S3分之1+。。。+Sn分之一=1/1+1/2*2+1/3*3+......+1/n*n<1/1+1/1*2+1/2*3+.....+1/(n-1)*n=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.....+[1/(n-1)-1/n]=1+1-1/n
所以
S1分之一+S2分之一+S3分之1+。。。+Sn分之一＜2
收起