已知数列an中 an>0 2√sn=an+1 前n项和为sn求证1/s1+1/s2+1/s3+...+1/sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 20:05:56
已知数列an中 an>0 2√sn=an+1 前n项和为sn求证1/s1+1/s2+1/s3+...+1/sn
已知数列an中 an>0 2√sn=an+1 前n项和为sn求证1/s1+1/s2+1/s3+...+1/sn
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网上找的答案,题目是一样的
由2倍根号Sn=an+1 平方得到
4Sn=（an+1)^2,
n>=2时 4Sn-1=[a(n-1)+1]^2,
两式相减得到,([an-a(n-1)-2][an+a(n-1)]=0
因为an>0,所以an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2
由2√a1=a1+1得到,a1=1
an=1+2(n-1)=2n-1
Sn=n(2n-1+1)/2=n^2
有疑问欢迎追问,多谢了~
补充：
2,n^2>n(n-1)
1/Sn=1/(n^2)
解
2√sn=an+1所以4Sn=(an+1)^2 (1)
所以4Sn-1=(an-1+1）^2 (2)
(1)式-(2)式得4an=an^2-an-1^2+2an-2an-1
化简得到 an-an-1=2,这是典型的等差数列标志，公差为1
又由题意 可以解得a1=1，所以an=2n-1
所以Sn=n^...
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解
2√sn=an+1所以4Sn=(an+1)^2 (1)
所以4Sn-1=(an-1+1）^2 (2)
(1)式-(2)式得4an=an^2-an-1^2+2an-2an-1
化简得到 an-an-1=2,这是典型的等差数列标志，公差为1
又由题意 可以解得a1=1，所以an=2n-1
所以Sn=n^2,所以1/Sn=1/n^2<1/n（n-1）=1/n-1-1/n
可以发现
1/s1+1/s2+1/s3+...+1/sn<2-1/n<2,所以命题得证
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