用数学归纳法证明：当n为正数时,1+3+5+...+（2n-1)=n²
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 23:30:09
用数学归纳法证明：当n为正数时,1+3+5+...+（2n-1)=n²
用数学归纳法证明：当n为正数时,1+3+5+...+（2n-1)=n²
用数学归纳法证明：当n为正数时,1+3+5+...+（2n-1)=n²
归纳法：
首先：当n=1时,等式成立.
然后：假设 当 n = k时,等式成立,即1 + 3 + 5 + .+ ( 2k - 1) = kk
则当n = k+1时,1 + 3 + 5 + .+ ( 2k - 1) + ( 2(k + 1) -1) = kk + ( 2(k + 1) -1) = kk + 2k +1
=( k+1 )( k+1)
所以原式对任意正整数成立.
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
…………………………
1+3+5+...+（2n-1)=n²
因为1+3+5+...+(2n-1)可看作是以1为首项，公差为2的等差数列的前n项和，
所以由求和公式可得：
1+3+5+...+(2n-1)=n×(1+2n-1)/2=n²
则√[1+3+5+...+(2n-1)]
=√(n²)
=n
证明：当n=1时，2n-1=1=1^2，所以等式成立
假设：当n=K时（k为正数），1+3+5+...+（2n-1)=n²成立，
所以当n=k+1时等式也成立。
得
等式：1+3+5+...+[(2k+1)-1]=(k+1)²①
1+3+5+...+（2k-1)=k²②
如果等式成立既①-②等式依然...
全部展开
证明：当n=1时，2n-1=1=1^2，所以等式成立
假设：当n=K时（k为正数），1+3+5+...+（2n-1)=n²成立，
所以当n=k+1时等式也成立。
得
等式：1+3+5+...+[(2k+1)-1]=(k+1)²①
1+3+5+...+（2k-1)=k²②
如果等式成立既①-②等式依然成立
①-②得
[(2k+1)-1]=(k+1)²-n²
2k+1=2k+1
等式成立，
所以当n为正数时，1+3+5+...+（2n-1)=n²
自己感觉也没什么把握！好久没做证明了！也好久没用这个方法了，这是死套模式！不知道对还是不对希望能帮到你！
收起