利用定积分定义求解lim(n→∞){n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…1/(n+n)^2]}
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 10:02:32
利用定积分定义求解lim(n→∞){n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…1/(n+n)^2]}
利用定积分定义求解lim(n→∞){n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…1/(n+n)^2]}
利用定积分定义求解lim(n→∞){n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…1/(n+n)^2]}
lim[n→+∞] n * [1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + ...+ 1/(n + n)²]
= lim[n→+∞] n * {1/[n(1 + 1/n)]² + 1/[n(1 + 2/n)]² + ...+ 1/[n(1 + n/n)]²}
= lim[n→+∞] n * (1/n²)[1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ...+ 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * [1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ...+ 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * Σ(k=1→n) 1/(1 + k/n)²
= lim[n→+∞] (2 - 1)/n * Σ(k=1→n) 1/[1 + k(2 - 1)/n]²
= ∫[1→2] 1/x² dx
= - 1/x |[1→2]
= - (1/2 - 1)
= 1/2
这里的Δx = (2 - 1)/n = 1/n
区间是1 + 1/n,1 + 2/n,1 + 3/n,...,1 + k/n,...,1 + n/n
=lim(n→∞) {[n^2/(n+1)^2+n^2/(n+2)^2+…n^2/(n+n)^2]}/n
= ∫ 1/(1+x)^2 dx ( 上限：1, 下限：0 )
=－1/(1+x) ( 上限：1, 下限：0 )
=1/2
答案是0
= 1/n ( 1/(1+1/n)^2 + 1/(1+2/n)^2 + ... + 1/(1+n/n)^2 )
这个和可以看成定积分∫ 1/(1+x)^2 dx在[0,1]上的近似
所以结果为-1/(1+x) [0,1] = 1/2