证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:55:11
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证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.

证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
设三个连续奇数为2n-1、2n+1、2n+3(n为任意整数),由题意三个连续奇数的平方和为
(2n-1)^2 +(2n+1)^2 +(2n+3)^2 = 12(n^2 + n + 1),由于n为整数,所以n^2 + n + 1也必为整数,所以12(n^2 + n + 1)能被12整除
又n^2 + n + 1 = n(n + 1)+ 1,因为n(n + 1)必定是偶数,所以 n(n + 1)+ 1必定是奇数,所以12(n^2 + n + 1)不能被24整除

(a-2)^2+a^2+(a+2)^2+1=3a^2+9,因为a为奇数,所以设a=2b+1,b属于R,原式=12b^2+12b+12=12(b^2+b+1),所以原式是12的倍数,而b^2+b=b(b+1)为偶数,所以b^2+b+1=b(b+1)+1为奇数,所以不能被24整除

设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3
(2x-1)的平方 + (2x+1)的平方 +( 2x+3)的平方 + 1
=12x 的平方 + 12x + 11 + 1
=12x 的平方 + 12x +12 = 12 (x 的平方 + x+ 1)
显然能被12整除 但不一定能被24整除

三个连续的奇数分别为(2n-1),(2n+1),(2n+3)
(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=4n^2-4n+1+4n^2+4n+1+4n^2+12n+9+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)
能被12整除
n^2+n+1=n(n+1)+1 不能被2整除,所以不能被24整除

设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3 X属于自然数N.
则连续平方和+1
求解得结果为12(x^2+x+1)
很明显能被12整除
当X为偶数时。x^2+x+1为偶数+偶数+1。必为奇数。所以不能被2整除
当X为奇数时。x^2+x+1为奇数+奇数+1,亦必为奇数。亦不能被2整除。
所以得证。...

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设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3 X属于自然数N.
则连续平方和+1
求解得结果为12(x^2+x+1)
很明显能被12整除
当X为偶数时。x^2+x+1为偶数+偶数+1。必为奇数。所以不能被2整除
当X为奇数时。x^2+x+1为奇数+奇数+1,亦必为奇数。亦不能被2整除。
所以得证。

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1*1+3*3+5*5+1=36