证明不等式 (n+1)/3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:24:56
证明不等式 (n+1)/3
证明不等式 (n+1)/3
证明不等式 (n+1)/3
一个思想,仅供参考,
这个证明应该是n>=1开始的
首先,从数学归纳法的角度可以知道前面的几项成立
也就是n=1,2/31)=-1
所以,右边=e^(-1+lnn)=n/e(e≈2.8)
所以,(n+1)/3(e/(3-e)],均有上式成立
所以,在数学归纳前部分项[即n=1上式均成立.
这题可以利用阶乘的一个著名估计(n/e)^n
以下只要验证(n+1)/3
当n较小时，需要直接验证原题结论：
n=1：2/3<1
n=2：3/3<2^(1/2)
……
n=8：9/3<(8!)^(1/8)（即3^8<8!）...
全部展开
这题可以利用阶乘的一个著名估计(n/e)^n
以下只要验证(n+1)/3
当n较小时，需要直接验证原题结论：
n=1：2/3<1
n=2：3/3<2^(1/2)
……
n=8：9/3<(8!)^(1/8)（即3^8<8!）
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这个证明应该是n>=1开始的
首先，从数学归纳法的角度可以知道前面的几项成立
也就是n=1,2/3<1……
下面就要证明一般性
当n趋于正无穷的时候，证明上式
右边=e^[1/n *lnn!]=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn+lnn)]
=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn)+lnn]
...
全部展开
这个证明应该是n>=1开始的
首先，从数学归纳法的角度可以知道前面的几项成立
也就是n=1,2/3<1……
下面就要证明一般性
当n趋于正无穷的时候，证明上式
右边=e^[1/n *lnn!]=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn+lnn)]
=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn)+lnn]
=e^[1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)+lnn]
其中1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)可用定积分求得∫<0+,1>lnxdx
这是个反常积分，算的结果为(xlnx-x)|x(0+->1)=-1
所以，右边=e^(-1+lnn)=n/e(e≈2.8)
所以，(n+1)/3
所以，在数学归纳前部分项[即n<(e/(3-e)]成立，后面的成立
那么，综上就可以知道n>=1上式均成立。 （仅供参考）
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