（1）对任意实数a,b,求证a^2+3b^2≥2b(a+b) (2)对任意实数ab,求证a^2+b^2-2a-2≥0 (3)已知abc正整数,求证(用均值定理) a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc （a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 06:57:28
（1）对任意实数a,b,求证a^2+3b^2≥2b(a+b) (2)对任意实数ab,求证a^2+b^2-2a-2≥0 (3)已知abc正整数,求证(用均值定理) a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc （a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
（1）对任意实数a,b,求证a^2+3b^2≥2b(a+b)
(2)对任意实数ab,求证a^2+b^2-2a-2≥0
(3)已知abc正整数,求证(用均值定理)
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc
（a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
（1）对任意实数a,b,求证a^2+3b^2≥2b(a+b) (2)对任意实数ab,求证a^2+b^2-2a-2≥0 (3)已知abc正整数,求证(用均值定理) a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc （a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
证明：（1）∵a^2+b^2≥2ab
∴a^2+b^2+2b^2≥2ab+2b^2
∴a^2+3b^2≥2b(a+b)
(2)题目好像有问题,令a=b=0,原式就不成立
（3）∵b^2+c^2≥2bc>0
c^2+a^2≥2ac>0
a^2+b^2≥2ab>0
∴a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2abc+2abc,
∴a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc
∵a^2+1≥2a>0
b^2+1≥2b>0
c^2+1≥2c>0
∴（a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
(1)a^2+3b^2=a^2+b^2+2b^2>=2ab+2b^2=2b(a+b)，简单的均值不等式。
(2)此题有问题，原式=(a-1)^2+b^2-3，显然不一定有原式>=0
(3)b^2+c^2>=2ab
a(b^2+c^2)>=2abc
同样的b(c^2+a^2)>=2abc
c(a^2+b^2)>=2abc
故a(b^2+c^2)+b(c...
全部展开
(1)a^2+3b^2=a^2+b^2+2b^2>=2ab+2b^2=2b(a+b)，简单的均值不等式。
(2)此题有问题，原式=(a-1)^2+b^2-3，显然不一定有原式>=0
(3)b^2+c^2>=2ab
a(b^2+c^2)>=2abc
同样的b(c^2+a^2)>=2abc
c(a^2+b^2)>=2abc
故a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc
此题也可以把六项全部展开，使用均值不等式
即a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)
=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c
>=6倍6次根号下a^6b^6c^6
=6abc
a^2+1>=2a
b^2+1>=2b
c^2+1>=2c
故（a^2+1）(b^2+1)(c^2+1)≥8abc
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