高一数学题（有关函数）若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；（1）.求证f(x)>0；（2）.求证f(x)为减函数；（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:22:06
高一数学题（有关函数）若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；（1）.求证f(x)>0；（2）.求证f(x)为减函数；（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
高一数学题（有关函数）
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；
（1）.求证f(x)>0；
（2）.求证f(x)为减函数；
（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
高一数学题（有关函数）若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；（1）.求证f(x)>0；（2）.求证f(x)为减函数；（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立.
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0,恒成立.则 f(x) > 0 成立.
采用反证法：
假设存在 x0,f(x0) = 0
那么对任意 x,f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾.因此 不存在 x0 ,使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
(3)当f(4)=1/16 时,解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16,所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ,舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4
根据 f(a)*f(b) = f(a+b),则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数,则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ,底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质
(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数，所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当x<0时,有x+a
(3)f(x-3)*f(5-x^2...
全部展开
(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数，所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当x<0时,有x+a
(3)f(x-3)*f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)
原不等式化为：f(-x^2+x+2)≤1/4，两边平方，[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16
f[2(-x^2+x+2)]≤1/16
因f(x)为减函数，f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0
解得：0≤x≤1
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