怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 10:16:45
怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?a=x^3b=y^3c=z

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怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?
a=x^3 b=y^3 c=z^3
x^3+y^3+z^3-3xyz
=[( x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+z^3-3xyz
=[(x+y)^3+z^3]-(3x^2y+3xy^2+3xyz)
=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1/2（x+y+z）（（x-y）^2+（y-z）^2+（x-z）^2）

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