证明三个连续自然数的积不是平方数

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 23:03:40
证明三个连续自然数的积不是平方数证明三个连续自然数的积不是平方数证明三个连续自然数的积不是平方数设三个连续自然数中间一个数为N,据题意则有(N-I)N(N+1)化简=N(N-I)(N+1)=N(N^-

证明三个连续自然数的积不是平方数
证明三个连续自然数的积不是平方数

证明三个连续自然数的积不是平方数
设三个连续自然数中间一个数为N,据题意则有(N-I)N(N+1)化简=N(N-I)(N+1)=N(N^-1)
N(N^-1)不可能是平方数

假设三个连续自然数的积是平方数
设这三个连续自然数是n-1,n,n+1，设n有一个质因数p，
则(n-1)n(n+1)是p的偶数次方的倍数
n-1和n+1都与n互质，都没有p这个质因数，所以n是p的偶数次方的倍数
由于p的任意性，所以n是一个平方数，
因为(n-1)n(n+1)是一个平方数，所以(n-1)(n+1)也是一个平方数
而(n-1)(n+1...

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假设三个连续自然数的积是平方数
设这三个连续自然数是n-1,n,n+1，设n有一个质因数p，
则(n-1)n(n+1)是p的偶数次方的倍数
n-1和n+1都与n互质，都没有p这个质因数，所以n是p的偶数次方的倍数
由于p的任意性，所以n是一个平方数，
因为(n-1)n(n+1)是一个平方数，所以(n-1)(n+1)也是一个平方数
而(n-1)(n+1)=n^2-1，没有两个相邻的平方数，所以矛盾
所以三个连续自然数的积不是平方数

收起

直接证明即可，因为任何一个完全平方数都是9n或3n+1的形式，这是因为n≡1或2(mod3)时n^2≡1(mod3)，n≡0(mod3)则n^2≡0(mod9)
但是6整除n(n+1)(n+2)，所以n(n+1)(n+2)一定不是平方数。
证毕！

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