4个连续自然数的乘积加上1一定是平方数.证明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/31 17:13:30

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4个连续自然数的乘积加上1一定是平方数.证明

4个连续自然数的乘积加上1一定是平方数.证明
证明:
任何连续四个自然数可以设为n,n+1,n+2,n+3.则其乘积+1是：
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)(n+2)(n+1)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=[(n^2+3n)+1]^2
所以4个连续自然数的乘积加上1一定是平方数.得证.

设这四个数为n,(n+1),(n+2),(n+3)
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
∴这个数为完全平方数

证明：
设这四个数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
∴这个数一定是完全平方数

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