已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 07:52:45
已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为已知

已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为
已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为

已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值为
(1/a²-1)(1/b²-1)
=[(1-a²)/a²][(1-b²)/b²]
=[(1-a²)(1-b²)]/(ab)²
=(1+a)(1-a)(1+b)(1-b)/(ab)²
=(1+a)(1+b)ab/(ab)²
=(1+a+b+ab)/ab
=(2+ab)/ab
=2/(ab)+1
由均值不等式得,
a+b≥2√ab
1≥2√ab
ab≤1/4
当a=b=1/2时,ab有最大值1/4
此时原式有最小值9