一道中学数学几何题矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周,所得圆柱体积最大的矩形面积为?请详解!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 00:40:36
一道中学数学几何题矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周,所得圆柱体积最大的矩形面积为?请详解!
一道中学数学几何题
矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周,所得圆柱体积最大的矩形面积为?
请详解!
一道中学数学几何题矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周,所得圆柱体积最大的矩形面积为?请详解!
设圆柱体底边半径为a,则高为1-a,圆柱体的体积为V= πa^2 *(1-a).
用平均值不等式求最大值,如下：a^2 *(1-a)≤ {(a/2+a/2+1-a)/3}^3/4,当且仅当a/2=1-a时,等号前面可以取到最大值.则a=2/3,另一个边为1/3,则矩形面积为2/9.
3.14*x2（1-x）
hallenpeng ,你好,
如果你学过平均值不等式,这道题就好解了,就是2/9
证明或解释如下,设矩形旋转时绕的那个轴长L,那么另外一边就是1-L, 则圆柱体底面积是 π(1-L)^2,圆柱体的体积V= π(1-L)^2 *L =π(1-L) * (1-L)*2L/2≤π /2 {(1-L+1-L+2L)/3}^3 当且仅当1-L=2L时取到等号于是L=...
全部展开
hallenpeng ,你好,
如果你学过平均值不等式,这道题就好解了,就是2/9
证明或解释如下,设矩形旋转时绕的那个轴长L,那么另外一边就是1-L, 则圆柱体底面积是 π(1-L)^2,圆柱体的体积V= π(1-L)^2 *L =π(1-L) * (1-L)*2L/2≤π /2 {(1-L+1-L+2L)/3}^3 当且仅当1-L=2L时取到等号于是L=1/3 .此时矩形面积为2/9. 当然你也可以将上式的体积表达式展开, V=π (L-2L^2+L^3)根据单调性,求极值点. 解得L=1/3.
收起
设矩形两边为a，b。
矩形周长为：2（a+b）=2→a+b=1
若以a边为旋转轴
圆柱体体积为：πab²
b+a=1→体积=2π（b-1）b²
函数求导。b≠0，则b=2/3,时（b-1）b²最大。
矩形面积为1/3*2/3=2/9
OVER
设长为x，则宽为1-x，若绕着长转一周，圆柱体底面半径为1-x，则体积为V=pi*（1-x）^2*x
求导，V'=pi*3x^2-4x+1，令V‘=0，得出x=1（舍）或者x=1/3，从而V=pi*4/27所以，矩形面积为1/3*2/3=2/9
若绕着宽转一周，圆柱体底面半径为x，则体积为V=pi*x^2*(1-x)，求导，V'=pi*(2x-3x^2)
令V’=0，得出x...
全部展开
设长为x，则宽为1-x，若绕着长转一周，圆柱体底面半径为1-x，则体积为V=pi*（1-x）^2*x
求导，V'=pi*3x^2-4x+1，令V‘=0，得出x=1（舍）或者x=1/3，从而V=pi*4/27所以，矩形面积为1/3*2/3=2/9
若绕着宽转一周，圆柱体底面半径为x，则体积为V=pi*x^2*(1-x)，求导，V'=pi*(2x-3x^2)
令V’=0，得出x=0（舍）或者x=2/3。从而体积为V=pi*4/27所以，矩形面积为1/3*2/3=2/9
收起