任意六个不同的自然数中,至少有两数的差是五的倍数,这是为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:40:16
任意六个不同的自然数中,至少有两数的差是五的倍数,这是为什么?
任意六个不同的自然数中,至少有两数的差是五的倍数,这是为什么?
任意六个不同的自然数中,至少有两数的差是五的倍数,这是为什么?
因为所有的自然数可以分为六类
被5除余1 被5除余2 被5除余3 被5除余4 被5整除
所以你任意选六个 至少有两个是属于同一类的
而同一类的两数相减必能被5整除
所有自然数都a可以写成:a=5K+i的形式(式中k为0,1,2,3,4.....整数,i为0,1,2,3,4整数),其实i为a被5整除的余数.
若任意取6个自然数,根据“抽屉法则”，因为除5的余数只有五个即（0，1，2，3，4），不管怎样取，至少有两个数字的余数是相同的
也就是说：
假定所取的u六个数字分别的形式分别是5k+m,5k+n,5k+p,5k+q,5k+r,5k+...
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所有自然数都a可以写成:a=5K+i的形式(式中k为0,1,2,3,4.....整数,i为0,1,2,3,4整数),其实i为a被5整除的余数.
若任意取6个自然数,根据“抽屉法则”，因为除5的余数只有五个即（0，1，2，3，4），不管怎样取，至少有两个数字的余数是相同的
也就是说：
假定所取的u六个数字分别的形式分别是5k+m,5k+n,5k+p,5k+q,5k+r,5k+s，则m,n,p,q,r,s六个数字只能在0，1，2，3，4共五个数字之中选择，那么在m,n,p,q,r,s至少有两个数字是相同的。
那么就把余数相同的两个数字相减，设a=5k+i,b=5j+i,那么a-b=（5k+i）－（5j+i）＝5（k-j)，差是能被5整除的。
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因为两个自然数被同一个自然数除，余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除；相反，两个数的差能被一个数整除，那么这两个数除以这个数的余数一定相同。而在六个自然数中，一定有两个数除以5的余数是相同的，所以这两个数的差一定能被5整除，也就是说这两个数的差是5的倍数。
证明：
设有两个自然数A和B，这两个数除以5的不完全商分别为X和Y，余数为R，即有
A=5X+R
B=...
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因为两个自然数被同一个自然数除，余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除；相反，两个数的差能被一个数整除，那么这两个数除以这个数的余数一定相同。而在六个自然数中，一定有两个数除以5的余数是相同的，所以这两个数的差一定能被5整除，也就是说这两个数的差是5的倍数。
证明：
设有两个自然数A和B，这两个数除以5的不完全商分别为X和Y，余数为R，即有
A=5X+R
B=5Y+R
得差为A-B=5X+R-5Y-R=5X-5Y=5*（X-Y）
由此可见，因为5*（X-Y）是5的倍数，所以这两个数的差就是5的倍数。
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