a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/15 13:39:12
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
证明:
1)若a,b,c,d全是偶数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
2)若a,b,c,d有三个是偶数,不妨设是前三个,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
3)若a,b,c,d有两个是偶数,不妨设是前两个,那么b-a,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
4)若a,b,c,d有一个是偶数,不妨设是第一个,那么c-b,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
5)若a,b,c,d全是奇数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
下面来讨论,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c这六个的乘积必然能被3整除
任何数整除3,之后余数无非就是0,1,2
因为a,b,c,d有四个数,那么必然有两个数除以3的余数是一样的,假设是a,b,
那么b-a就一定能整除3(因为a|3,b|3,那么b-a|3)
综上,由于3和4是互素的,所以b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
很简单的啊,任意四个数除以4的余数只能为0,1,2,3
如果选取的4个数除以4的余数互不相同,设分别为a1 = 0,a2=1,a3=2,a4=3,那么(a3-a1)*(a4-a2)能被4整除,若有相同的,那么相同的数相减后必然能被4整除,所以这6个差的乘积能被4整除
4个数除以3的余数分别为0,1,2,那么必然存在两个数除以3的余数相同,那么他们的差能被3整除,所以这6个乘积能被3...
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很简单的啊,任意四个数除以4的余数只能为0,1,2,3
如果选取的4个数除以4的余数互不相同,设分别为a1 = 0,a2=1,a3=2,a4=3,那么(a3-a1)*(a4-a2)能被4整除,若有相同的,那么相同的数相减后必然能被4整除,所以这6个差的乘积能被4整除
4个数除以3的余数分别为0,1,2,那么必然存在两个数除以3的余数相同,那么他们的差能被3整除,所以这6个乘积能被3整除
所以乘积能被3*4=12整除。
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