a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 20:39:31
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数
b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证：以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
证明：把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只须证明：3与4都可以整除p,以下分两步进行.
第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类只有三个0、1、2,故知a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,b,这时3可整除b-a,从而3可整除p.
第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种类至多只有四个0、1、2、3,如果a,b,c,d中有二数除以4的余数相同,那么与第一步类似,我们立即可作出4可整除p的结论.
设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知,a,b,c,d之中必有二个奇数（不妨设为a,b）,也必有二个偶数（设为c,d）,这时b-a为偶数,d-c也是偶数,故4可整除(b-a)(d-c),自然也可得出4可整除p.
因此,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
一个数，除以3的余数，可能为0,1,2
一共三种情况
那么给定的任意的4个整数中，至少存在两个，除以3的余数相同
那么b-a，c-a，d-a这三个差数当中，至少存在一个，能被3整除
任意整数，要么是奇数，要么是偶数，一共两种情况
4个任意给定的整数，有以下几种情况
1）都是奇数或都是偶数
那么任意两个数的差，一定是偶数
2）2奇数，2...
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一个数，除以3的余数，可能为0,1,2
一共三种情况
那么给定的任意的4个整数中，至少存在两个，除以3的余数相同
那么b-a，c-a，d-a这三个差数当中，至少存在一个，能被3整除
任意整数，要么是奇数，要么是偶数，一共两种情况
4个任意给定的整数，有以下几种情况
1）都是奇数或都是偶数
那么任意两个数的差，一定是偶数
2）2奇数，2偶数
那么b-a，c-a，d-a这三个差数中，至少有一个为偶数
c-b，d-b，d-c这三个差数中，也至少有一个为偶数
3）3奇数1偶数或3偶数1奇数
给出的六个差数中，也至少有两个为偶数
3×2×2=12
综上，给出的6个差数的乘积，一定可以被12整除
收起
只要证明能被4和3整除即可
按除3的余数0,1,2分类，则四个数至少有2个数在同一组，即他们的差能被3整除
按奇数和偶数分类，四个数至少有2个数在同一组。若恰2个数奇偶性相同，则另两个奇偶性也相同，所以他们的差能被4整除
若3个数奇偶性相同不妨设为a,b,c则(b-a)*(c-b）能被4整除
若4个数奇偶性都相同则显然成立
综上，命题成立...
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只要证明能被4和3整除即可
按除3的余数0,1,2分类，则四个数至少有2个数在同一组，即他们的差能被3整除
按奇数和偶数分类，四个数至少有2个数在同一组。若恰2个数奇偶性相同，则另两个奇偶性也相同，所以他们的差能被4整除
若3个数奇偶性相同不妨设为a,b,c则(b-a)*(c-b）能被4整除
若4个数奇偶性都相同则显然成立
综上，命题成立
收起
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