a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:30:43
a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
证明：把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只须证明：3与4都可以整除p,以下分两步进行.
第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类只有三个0、1、2,故知a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,b,这时3可整除b-a,从而3可整除p.
第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种类至多只有四个0、1、2、3,如果a,b,c,d中有二数除以4的余数相同,那么与第一步类似,我们立即可作出4可整除p的结论.
设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知,a,b,c,d之中必有二个奇数（不妨设为a,b）,也必有二个偶数（设为c,d）,这时b-a为偶数,d-c也是偶数,故4可整除(b-a)(d-c),自然也可得出4可整除p.
因此,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
因为任意整数，被3除，余数是0、1、2，
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数，根据抽屉原则，其余数肯定有两个相同，那么这两个数之差就是3的倍数，即六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被3整除。
所以只需证明六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除 即可。
对于a,b,c,d为四个...
全部展开
因为任意整数，被3除，余数是0、1、2，
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数，根据抽屉原则，其余数肯定有两个相同，那么这两个数之差就是3的倍数，即六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被3整除。
所以只需证明六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除 即可。
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数，如果有一个奇数（如d），三个偶数（如a、b、c），那么这三个偶数中，每个差数都能被2除，所以b-a，c-a，c-b的乘积可被4整除，自然六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除；
如果有两个奇数，两个偶数，那么奇数之差是偶数被2整除，偶数之差也是偶数被2整除，所以六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除；
如果有三个奇数（如a、b、c），一个偶数（如d），那么这三个奇数中，每个差数都能被2除，所以b-a，c-a，c-b的乘积可被4整除，自然六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除；
如果有四个奇数，那么这四个奇数中，每个差数都能被2除，所以六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除；
总之，任何情况下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除。
收起