任意给出5个不同的自然数,其中至少有2个数的差是4的倍数,请证明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 05:03:13
任意给出5个不同的自然数,其中至少有2个数的差是4的倍数,请证明理由.
任意给出5个不同的自然数,其中至少有2个数的差是4的倍数,请证明理由.
任意给出5个不同的自然数,其中至少有2个数的差是4的倍数,请证明理由.
解一（计算的方法）
所有的自然数都可以表示为(5n）（5n+1）（5n+2)(5n+3)(5n+4)(n为非负整数）的集合那么可以将这5个类型分为5个抽屉,同一抽屉内的两个数的差必是5的倍数{[5m+i-（5n+i）]=5(m-n)},根据抽屉原理,只要有6个数,就必定有两个数在一个抽屉内.所以,至少为6.
解二（思维）
因为倍数与整除知识是紧密联系的,所以先考虑一个自然数除以4的余数问题.一个自然数除以4的余数可能是0、1、2、3这4种情况,因此,5个自然数分别除以4,其中必有两个数除以4的余数相同,那这两个数的差就是4的倍数.
抽屉原则.
任意一个数除以4的余数只能有四种情况,分别是 0,1,2,3. 即有4个抽屉, 把5个任意数放在4和抽屉里面,肯定有一个抽屉至少放了2个数.
即至少有两个数除以4的余数是相同的. 根据同余的性质,如果这两个数除以4同余,那么他们的差一定能被4整除, 即是4的倍数....
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抽屉原则.
任意一个数除以4的余数只能有四种情况,分别是 0,1,2,3. 即有4个抽屉, 把5个任意数放在4和抽屉里面,肯定有一个抽屉至少放了2个数.
即至少有两个数除以4的余数是相同的. 根据同余的性质,如果这两个数除以4同余,那么他们的差一定能被4整除, 即是4的倍数.
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这个想通了并不是困难的。这个题用反证法可以证明但是情况比较多，比较复杂。这里我给一种构造性证明方法。这个题的意思换句话说就是五个不同的自然数，必有一个是另一个加上4的倍数构造出来的。那么我先设一个数a，现在考虑最严格的情况即：a ，a+4k+1，a+4k+2，a+4k+3现在有4个数了这四个数就是很严格的两两之差不为4的倍数，下面就容易了，再继续严格下去，发现无论再构造 a+4m+n （n大于等于...
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这个想通了并不是困难的。这个题用反证法可以证明但是情况比较多，比较复杂。这里我给一种构造性证明方法。这个题的意思换句话说就是五个不同的自然数，必有一个是另一个加上4的倍数构造出来的。那么我先设一个数a，现在考虑最严格的情况即：a ，a+4k+1，a+4k+2，a+4k+3现在有4个数了这四个数就是很严格的两两之差不为4的倍数，下面就容易了，再继续严格下去，发现无论再构造 a+4m+n （n大于等于3）都会出现使得任意两数是4的倍数。或者用 a+4k+1 来构造 a+4k+1 +4m+n （n=1或2或3）都会出现至少两个数差为4的倍数。即现在我们把最严格的情况都证明出来至少有2个数是4的倍数，其他情况可能4个数甚至3个数就有两个数的差是4的倍数了，那么这样就证明了。这个题主要是构造性思维，考的就是问题的转换和简化。核心思想是先任取一个数然后来加上 4的倍数加余数这种形式，最后把最有可能不存在的情况否定，那么问题就得证了，还有不清楚的可以问我。
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此五个自然数最多都可以用
4a 4b+1 4c+2 4d+3 （除以四整除，余一，余二，余三）表示出来。a,b,c,d为整数
这是这五个数可以取的4种情况，所以五个数，四种情况必有一种情况至少取两次，取两次的那种情况的两个数相减即为4的倍数。
明白了吗？不明白再说，祝学习进步。...
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此五个自然数最多都可以用
4a 4b+1 4c+2 4d+3 （除以四整除，余一，余二，余三）表示出来。a,b,c,d为整数
这是这五个数可以取的4种情况，所以五个数，四种情况必有一种情况至少取两次，取两次的那种情况的两个数相减即为4的倍数。
明白了吗？不明白再说，祝学习进步。
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抽屉原则.
任意一个数除以4的余数只能有四种情况,分别是 0,1,2,3. 即有4个抽屉, 把5个任意数放在4和抽屉里面,肯定有一个抽屉至少放了2个数.