已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/28 17:27:42

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已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式
这道题用数学归纳法确实比正面证明要简单些,但不等于正面证明就是无路可走的.
由原递推式递推下一项,就有(n-1)A[n]=(n+1)A[n-1]+(n-1),然后与原递推式联立,两式相减,化简一下,就得nA[n+1]=(2n+1)A[n]-(n+1)A[n-1]+1,然后整理一下,
就有n(A[n+1]-A[n])=(n+1)(A[n]-A[n-1])+1,令B[n]=A[n+1]-A[n],则
nB[n]=(n+1)B[n-1]+1,所以B[n]+1=[(n+1)B[n-1]+1+n]/n=[(n+1)(B[n-1]+1)]/n,
所以(B[n]+1)/(n+1)=(B[n-1]+1)/n=(B[1]+1)/2,
因为已知A[1]=1,A[2]=4,所以B[1]=3,所以B[n]=2n+1,即A[n+1]-A[n]=2n+1
利用叠加法就得A[n+1]-A[1]=n(n+2),所以A[n]=(n-1)(n+1)+A[1]=n^2-1+1=n^2.
正面证明的过程就是这样.本人喜好先考虑正面走,实在行不通才考虑数学归纳法,因为正面证明往往可以看出一个人的思维水平,但如果考试的时候遇上了,建议假如3分钟正面走不通,就赶紧向数学归纳法求助了,这样比较省时.这就要看你自己的水平和决策能力了.
（PS：如果我的回答被您采纳,麻烦记得追加至少10分哦,

两边同除n(n 1)(n 2)，变为数列An 1/(n 1)(n 2)=An/n(n 1) 1/(n 1)(n 2)再叠加法

当n=1时，A[1]=1 n=2 , A[2]=4 n=3 , A[3]=9 猜想A[n]=n^2 用数学归纳法即可

已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=na(n+1),则数列{an}的一个通项公式an= 已知a1=1,na(n+1)=(n+3)an,则数列通项an 已知数列{an}中,a1=1,且na(n+1)=(n+1)an+2n（n+1）,求数列的通项公式. .已知正项数列{An}中,nA（n+1）平方-AnAn+1-(n+1)An^2=0(n∈N+),A1=1,则通项An= 已知在数列{an}中,a1=2,na[n+1]=(n+1)an+2 (n∈N*),a10=( ) 注：[ ]为下标已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式数列an中,a1=3 na(n+1)=(n+2)an 求an的通项公式已知数列｛an｝中,a(n+1)=an+2^n,a1=3,求an 已知数列an中,a1=1,an+1=an+n,求an 已知数列:A1=3/2,且An=3nA(n-1)/[2A(n-1)+n-1],求通项已知数列an中,a1=2,an+1=3an+2^n(n+1为脚标),求an a(已知数列an中,a1=2,an+1=3an+2^n(n+1为脚标),求an a(n+1)=3an+2^na(n+1)+x*2^(n+1)=3(an+x*2^n)a(n+1)=3an+3x*2^n-x*2*2^na(n+1)=3an+x*2^nx=1a(n+1)+2^(n+1)=3(an+2^n)an+2^n=bn,b1=a1+2=4b(n+1)= 数列{an}中 a1=1,na(n+1)=(n+2)a1 (n属于N*)则{an} 通响公式已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求通项公式已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an+1=nan,则an 已知数列{an}中,a1=1,a1a2a3……an=n^2,求an 已知数列{an中}a1=3.且an+1=an+2的n次方已知数列｛an｝满足na(n+1)=2(n+1)an,a1=1,求证｛an/n｝为等比数列(前一个n+1为下标) 已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an