证明:4/1(m*m+n*n-m-n)必为整数..m,n都是正整数...

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 15:23:57
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我做了一种证明方法,不过可能麻烦点,总比没有强吧~
你前边应该是1/4吧(四分之一),写反了个了.
要证明这个式子为整数,就是要证明(m^2+n^2-m-n)为4的整数倍.
一个整数除以4,余数只能为0、1、2、3
设:m=4a+b n=4c+d
其中a、c为任意正整数,b、d为0-3中的其中之一
这样:
m^2+n^2-m-n
=16a^2+8ab+b^2+16c^2+8cd+d^2-4a-b-4c-d
如此一来,只需要证明:(b^2+d^2-b-d) 为4的整数倍
b、d只有4种取值,而对这个式子而言,b和d的取值颠倒结果一样.
所以b、d有如下搭配:
00 01 02 03 11 12 13 22 23 33
一共10种搭配
然后分别计算对应的(b^2+d^2-b-d)值可知,均为4的倍数.
因此得证.
就是最后一步比较麻烦.