正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数为什么呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 11:53:15
正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数为什么呢?
正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数
为什么呢?
正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数为什么呢?
约数一般都是成对出现的,比如 20=1*20=2*10=4*5,这里(1,20)(2,10)(4,5)都是成对的.
但对完全平方数一定可以写成 n*n,当约数是n时,与其n配对的还是n,其约数的个数一定是奇数.
所以正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数
楼上傻子 36的正约数为1,2,3,4,6,9,12,18,36 共9个 4的正约数为1，2，4 共3个 …… …… 好了，证明在图中，点击放大
命题改为：
因数个数是偶数个的正整数不是完全平方数
因为正整数公因数1之外，
其余因数个数是奇数，都是质数
所以不是完全平方数
完全平方数(正整数)n^2=n*n*1,
设n的正约数个数是m(m是正整数)
则n^2=n*n*1的正约数个数是2m+1必为奇数
所以正约数个数是偶数个的正整数不可能是完全平方数
这是因为任何一个数的约数都成对出现,对于完全平方数,当一个约数取其平方根时,与其对应的另一个约数也是其平方根,即这两个约数相等,这种情况下认为是同一个约数,故完全平方数有奇数个约数,易见,有偶数个约数的数不是完全平方数.
完全平方数有标准分解式q1^n1*q2*n2*...*qk*nk
其中,q1,q2,...,qn是素数,n1,n2,...,nk是偶数,完全平方数的约数中可含有q1因子共有n1+1种情况，含有q2因子共有n2+1种情况...依次类推含有qk因子共有nk+1种情况,于是它的约数应有(n1+1)*(n2+1)*...*(nk+1)个,显然这是个奇数....
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完全平方数有标准分解式q1^n1*q2*n2*...*qk*nk
其中,q1,q2,...,qn是素数,n1,n2,...,nk是偶数,完全平方数的约数中可含有q1因子共有n1+1种情况，含有q2因子共有n2+1种情况...依次类推含有qk因子共有nk+1种情况,于是它的约数应有(n1+1)*(n2+1)*...*(nk+1)个,显然这是个奇数.
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约数个数公式：自然数N分解成质数的指数积形式
N=M1^a1×M2^a2×M3^a3×……×Mn^an （Mi为质数)
则N的约数的个数f(N)=(1+a1)×(1+a2)×(1+a3)×……×(1+an)
当M为平方数时，a1,a2,a3...an均为偶数
因此f(N)必为奇数，即约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。
例如144=2^4×3^...
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约数个数公式：自然数N分解成质数的指数积形式
N=M1^a1×M2^a2×M3^a3×……×Mn^an （Mi为质数)
则N的约数的个数f(N)=(1+a1)×(1+a2)×(1+a3)×……×(1+an)
当M为平方数时，a1,a2,a3...an均为偶数
因此f(N)必为奇数，即约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。
例如144=2^4×3^2 则f(144)=(1+4)×(1+2)=15
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