一个数学定理证明为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4望有图、简洁.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 02:37:18
一个数学定理证明为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4望有图、简洁.
一个数学定理证明
为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4
望有图、简洁.
一个数学定理证明为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4望有图、简洁.
连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.
在△DEC和△PEB中
∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.
∴△DEC≌△PEB（SAS）.
∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.
又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.
∴EP平行且等于1/2AC.
即EP平行且等于AF.
∴四边形AEPF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）
∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.
这样△ABC的三条中线CD,BF,AE就构成了△BFP.
∵BF为中线,平分△ABC面积.
∴S△BAF=S△BFC.
又∵EF为△BFC中线,平分△BFC面积.
∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.
又∵CD为△ABC中线,平分△ABC面积.
∴S△ADC=S△BDC.
又∵DE平分△BDC面积.
∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.
∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.
∵AE为△ABC中线,平分△ABC面积.
∴S△BAE=S△AEC.
又∵EF平分△AEC.
∴S△AEF=S△EFC.
∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC
∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP
=1/4S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC
=3/4S△ABC
也可以是证明如下:
记原来三角形为ABC
三边上中线分别为AD BE CF
三中线交与一点记为G
延长AD至M使DM=DG
连接CM
容易得到
CM=BG=2/3 BE
MG=AG=2/3 AD
CG=2/3 CF
则由三中线为线段的三角形面积就是三角形CMG面积的9/4
而三角形CMG面积=三角形CMD+三角形CDG=三角形CDG+三角形BDG=三角形CBG=1/3 三角形ABC
即三中线为线段的三角形面积=9/4三角形CMG=9/4*(1/3 三角形ABC)=3/4三角形ABC
把ijpk分别改为efgh,你本图中的efghlmno就不需要了（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，
∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点，
∴AH=DH，
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC，
∵平行四边形ABCD中，有∠BAD=180°-∠ADC...
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把ijpk分别改为efgh,你本图中的efghlmno就不需要了（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，
∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点，
∴AH=DH，
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC，
∵平行四边形ABCD中，有∠BAD=180°-∠ADC，
∴∠HAE=360°-（∠HAD+∠BAD+∠BAE）=360°-[45°+（180°-∠ADC）+45°]=90°+∠ADC，
∴∠HDG=∠HAE，
∴△HDG≌△HAE，
∴HG=HE且∠EHA=∠GHD，
同理可证HE=EF=FG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵点H是正方形的对角线的交点，
∴∠AHD=90°，即∠AHG+∠GHD=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
收起
将F点沿着BC方向移动BC长后得到G点 容易知道AG=CF,BE=DG 故所求的三角形与ADG全等 容易说明三角形AED的面积是ABC面积的四分之一 EDG的面积也是ABC面积的四分之一 AEG的面积也是ABC面积的四分之一 由上面分析得到三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4