开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 02:00:02
开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你开普勒行星运动第

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把星球作的运动看成匀速圆周运动.这时,万有引力提供向心力.用质量、角速度、轨道半径表示出向心力,这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示.再用绕同一中心天体运的星体列一个方程,两式相比就可证明开普勒第三定律:
  万有引力F=GMm/(R^2)(1)
  向心力Fn=mv^2/R(2)
  (1)=(2),求出v^2=GM/R(3)
  又T^2=(2πR/v)^2(4)
  将(3)代入(4)即可
  R^3/T^2=K
  =GM/4π^2=R^3/T^2
  R为运行轨道半径
  T=行星公转周期
  K=常数=GM/4π^2
  这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型,但现实中的星体运动的轨道都为椭圆,于是便有以下推导:
  利用微元,矢径R在很小的Δt时间内,扫过面积为ΔS,矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α,椭圆的弧长为ΔR.在Δt→0时,扫过面积可以看作为三角形,
  ΔS=1/2*R*ΔR*sinα
  面积速度为 ΔS/Δt=1/2R*ΔR*sinα/Δt=1/2*Rv*sinα
  各行星绕太阳运行周期为T
  设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
  则行星绕太阳运动的周期T=πab/(1/2*r*v*sinα).
  选近日点A和远日点B来研究,由ΔS相等可得1/2*vA*RA=1/2*rB*RB
  从近日点运动到远日点的过程中,根据机械能守恒定律得:
  1/2*m*vA^2-GMm/rA=1/2*mvB^2-GMm/rB
  得:vA^2=2GMrb/((rA+rB)/rA)
  由几何关系得:rA=a-c rB=a+c a^2=b^2+c^2
  所以 vA=√(GM/a)*√(rB/rA)
  △S/△t=1/2*rA*vA=1/2*√(GM/a)*√(rA*rB)=b/2*√(GM/a)
  T=π*ab/(△S/△t)=2πa*√(a/GM)
  整理得T^2/a^3=4π^2/GM

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