一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证：OA²+OB²=5OC²
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 01:41:12
一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证：OA²+OB²=5OC²
一道勾股定理题
△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证：OA²+OB²=5OC²
一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证：OA²+OB²=5OC²
分别做：OE,OF,OG垂直于AC,BC,AB（请自己在图上表出,我不能上传图片）
因为：S△ABO=S△BCO=S△CAO
所以：S△ABC=3S△BCO=3S△CAO
又因为：2S△ABC=AC*CB
2S△BCO=OF*CB
2S△CAO=AC*OE
所以：AC*CB=3OF*CB=3AC*OE
所以：AC=3OF
CB=3OE
即：E,F分别是AC,CB的三等分点
所以：OA²+OB²=(OE²+AE²)+(OF²+FB²)=[OE²+(2OF)²)+[OF²+(2OE)²]=5(OF²+OE²)
=5(OF²+FC²)=5OC²
所以上式得证
延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M，ON⊥AC于N。
则AE：EC×CD：DB×BF/FA=1
可知AE：EC=S△AOB：S△BOC=1
CD：DB=S△AOC：S△AOB=1
∴BF=FA
同理得BD=DC
∴O为△ABC的重心
∴BM=2CM
AN=2CN
OA2+OB2=AN2+ON2+OM2+MB2
=5OC2
如图，延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M，ON⊥AC于N。 则AE/EC×CD/DB×BF/FA=1 易知AE/EC=S△AOB/S△BOC=1 CD/DB=S△AOC/S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA²+OB²=AN²+ON²+OM²+MB² =5OC²
如图，延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M，ON⊥AC于N。 则AE/EC×CD/DB×BF/FA=1 易知AE/EC=S△AOB/S△BOC=1 CD/DB=S△AOC/S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA²+OB²=AN²+ON²+OM²+MB² =5OC² 延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M，ON⊥AC于N。 则AE：EC×CD：DB×BF/FA=1 可知AE：EC=S△AOB：S△BOC=1 CD：DB=S△AOC：S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA2+OB2=AN2+ON2+OM2+MB2 =5OC2 分别做：OE，OF，OG垂直于AC，BC，AB（请自己在图上表出，我不能上传图片） 因为：S△ABO=S△BCO=S△CAO 所以：S△ABC=3S△BCO=3S△CAO 又因为：2S△ABC=AC*CB 2S△BCO=OF*CB 2S△CAO=AC*OE 所以：AC*CB=3OF*CB=3AC*OE 所以：AC=3OF CB=3OE 即：E，F分别是AC，CB的三等分点 所以：OA²+OB²=(OE²+AE²)+(OF²+FB²)=[OE²+(2OF)²)+[OF²+(2OE)²]=5(OF²+OE²) =5(OF²+FC²)=5OC² 所以上式得证