(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么 我转不过弯

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 05:58:19
(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么我转不过弯(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,

(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么 我转不过弯
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(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么 我转不过弯
由利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 :
  (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
  n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
  .
  3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
  2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
  把这n个等式两端分别相加,得:
  (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
  由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
  代入上式得:
  n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
  整理后得:
  1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
∴﹙1^2+2^2+3^2+.+n^2﹚/n^3=n(n+1)(2n+1)/6n ^3

n=1,成立
n=k,1+4+9+ +k^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)
n=k+1,1+4+9+ +k^2+(k+1)^2=(1/6)k(k+1)(2K+1)+(k+1)^2
=[(k+1)(6k+6+2k^2+k)]/6
...

全部展开

n=1,成立
n=k,1+4+9+ +k^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)
n=k+1,1+4+9+ +k^2+(k+1)^2=(1/6)k(k+1)(2K+1)+(k+1)^2
=[(k+1)(6k+6+2k^2+k)]/6
=[(k+1)(k+2)(2k+2+1)]/6 故
(1^2+2^2+...n^2)等于n(n+1)(2n+1)/6
(1^2+2^2+...n^2)/n^3等于n(n+1)(2n+1)/6n^3

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