PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小.用向量解,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:13:36
PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小.用向量解,
PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小.用向量解,
PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小.用向量解,
应楼主要求,用向量法解决~~(说起来也并不复杂的、)
∵PA⊥平面ABC
又AC、BCㄷ平面ABC
∴PA⊥AC,PA⊥BC
且AC⊥BC
即PA、AC、BC两两垂直
如图,以A为坐标原点,过点A作∥BC的直线为x轴,AC、AP所在直线分别为y、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则：
A(0,0,0),B(√2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1)
∴向量AP＝(0,0,1),向量PB＝(√2,1,－1),向量CP＝(0,－1,1)
设平面ABP的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1)
则有：
{n1•向量AP＝0
{n1•向量PB＝0
即有：
{z1＝0
{√2x1＋y1－z1＝0
取x1＝1,则y1＝－√2,z1＝0
∴平面ABP的一个法向量n1＝(1,－√2,0)
设平面BCP的一个法向量为n2＝(x2,y2,z2)
同理,可求得法向量n2＝(0,1,1)
设二面角A－PB－C的平面角为θ,则
|cosθ|＝|cos<n1,n2>|＝|n1•n2|/(|n1||n2|)＝(√2)/(√3•√2)＝(√3)/3
∵二面角A－PB－C为锐角
∴二面角A－PB－C的余弦值为(√3)/3
∴二面角A－PB－C的大小为arccos(√3)/3．
[求二面角的方法]
⑴几何法：利用二面角的定义,找到二面角的平面角,通过解三角形得到二面角的大小,但是二面角的确定是一个难点
⑵坐标法：建立适当的空间直角坐标系,求得相关两个半平面的法向量n1,n2,则cos<n1,n2>＝(n1•n2)/(|n1||n2|)．设二面角的平面角为θ,则θ＝<n1,n2>或θ＝π－<n1,n2>
作为理科生,我建议用坐标法(即向量法),思路简单,而且模式固定,可使抽象问题具体化,复杂问题简单化,解题思路直观明了,把问题直接转化为向量运算问题．这也正是作为理科生解决空间立体几何问题的一个优势哟~~~
来自大科学团队的解答
过A做AM垂直PC于M
易知
PA⊥BC,AC⊥BC
=>
BC⊥PAC
=>
BC⊥AM,BC⊥PC
又
AM⊥PC
=>
AM⊥PBC
cosA-PB-C = S(PMB)/S(PAB) = 1/2*S(PBC)/S(PAB) = 1/2*1/ √3/2
= 1/√3能...
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来自大科学团队的解答
过A做AM垂直PC于M
易知
PA⊥BC,AC⊥BC
=>
BC⊥PAC
=>
BC⊥AM,BC⊥PC
又
AM⊥PC
=>
AM⊥PBC
cosA-PB-C = S(PMB)/S(PAB) = 1/2*S(PBC)/S(PAB) = 1/2*1/ √3/2
= 1/√3
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