已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 04:07:36
已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd等于多少?
已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd等于多少?
已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd等于多少?
换元即可.
设a=sinα,b=cosα,c=sinβ,d=cosβ.
由ac+bd=0可得sinαsinβ+cosαcosβ=0,即cos(α-β）=0,所以α=π/2+β.
所以2α=π+2β.则sin(2α)=-sin(2β).
所以sin(2α)+sin(2β)=0.
则ab+cd=sinαcosα+sinβcosβ=（1/2）·sin(2α)+(1/2)·sin(2β)=0.
（注：看见平方和为零一般都用换元换成三角函数计算）
ab+cd=0
【1】∵ac+bd=0.
∴两边平方可得：a ²c ²+2abcd+b ²d ²=0.
∴2abcd=-(a ²c ²+b ²d ²).
【2】∵a ²+b ²=1,且c ²+d ²=1.
∴a ²+b ²=c &su...
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【1】∵ac+bd=0.
∴两边平方可得：a ²c ²+2abcd+b ²d ²=0.
∴2abcd=-(a ²c ²+b ²d ²).
【2】∵a ²+b ²=1,且c ²+d ²=1.
∴a ²+b ²=c ²+d ²
∴a ²-d ²=-(b ²-c²).
【3】可设t=ab+cd.
∴t ²=(ab+cd) ²=a ²b ²+c ²d ²+2abcd
=a ²b ²+c ²d ²-(a ²c ²+b ²d ²)
=a ²(b ²-c ²)+d ²(c ²-b ²)
=(a ²-d ²)(b ²-c ²)
=-(b ²-c ²)²,
∴0≤t ²=-(b ²-c ²)²≤0.
即：0≤t ²≤0.
∴t=0.即ab+cd=0.
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