已知实数x,y满足y=√(3-x^2),试求b=2x+y的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 17:29:01
已知实数x,y满足y=√(3-x^2),试求b=2x+y的取值范围
已知实数x,y满足y=√(3-x^2),试求b=2x+y的取值范围
已知实数x,y满足y=√(3-x^2),试求b=2x+y的取值范围
【答案】b＝2x＋y的取值范围为[－2√3,√15]
【解析】
对于b＝2x＋y,b可看做直线l：y＝－2x＋b与半圆有交点时的纵截距
由图可知：
当直线l过点(－√3,0)时,b有最小值,此时b＝2×(－√3)＝－2√3
当直线l与半圆O相切时,b有最大值,此时满足|－b|/√(2²＋1)＝√3
解得：b＝√15或b＝－√15(舍去)
综上可得：b的取值范围为[－2√3,√15]
设x=√3sina ,a∈[-π/2，π/2]
则y=√3cosa (这样设可保证x可正可负，y非负)
b=2√3sina +√3cosa
=√15 sin(a+b),(tanb=1/2,则b<30°)
所以b-π/2≤a+b<120°
√15 *sin(b-π/2) =√15*-2/√5=-√3/2≤ b≤√15
综上-√3/2≤b≤√15
3-x^2＞0， -根号3＜x＜根号3, -2根号3＜2x＜2根号3
0＜y＜根号3
-2根号3＜2x+y＜3根号3
-2根号3＜b＜3根号3错误。。。楼下的思路不错，不过建议你 b=2√3sina +√3cosa=,=√15 sin(a+b),(tanb=1/2,则b<30°)中的辅助角名称就别再用b了，容易和要求范围的的b混淆。 再者后面一处运算有点出入 √...
全部展开
3-x^2＞0， -根号3＜x＜根号3, -2根号3＜2x＜2根号3
0＜y＜根号3
-2根号3＜2x+y＜3根号3
-2根号3＜b＜3根号3
收起
先计算定义域为【-√3，√3】 值域为【0，√3】， 再将y=√(3-x^2)两边平方， x^2移至左边，得到式子x^2+y^2=3， 根据值域定义域作图， b=2x+y可以看成y＝－2x＋b b即是函数与y轴的交点， 数形结合不难得到交点的取值范围 当与半圆交(－√3，0)取到最小值－2√3 当与半圆相切，即原点到直线2x+y-b=0的距离为√3时 距离d=|2x+y-b|/√5=√3，带入原点 |b|=√15，b取√15 范围是[－2√3，√15]