已知abc是不全相等的实数,求证a的平方加b的平方加c的平方,大于ab加bc加ca

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/08 17:46:07

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已知abc是不全相等的实数,求证a的平方加b的平方加c的平方,大于ab加bc加ca
已知abc是不全相等的实数,求证a的平方加b的平方加c的平方,大于ab加bc加ca

已知abc是不全相等的实数,求证a的平方加b的平方加c的平方,大于ab加bc加ca
a^2+b^2+c^2
=1/2(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)
>=1/2(2ab+2ca+2bc)
=ab+bc+ca
（当a=b=c是取等号）
又abc两两不等
故a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
方法二:
∵(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0
∴a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca≥0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≥0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≥0
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
由于abc不全相等,则取不到"=".

a的平方加b的平方大于2ab；b的平方加c的平方大于2bc;a的平方加c的平方大于2ac；三者相加。

首先 (a-b)^2=a^2+b^2 - 2ab
(b-c)^2=b^2+c^2 -2bc
(c-a)^2=c^2+a^2 -2ca
三式和=>(a-b)^2 +(b-c)^2+(c-a)^2=2[a^2 +b^2 +c^2 - (ab+bc+ca)]>=0
但a,b,c是不全相等的实数 =>a^2 +b^2 +c^2 - (ab+bc+ca)>0
=>(a^2 +b^2 +c^2 ) >(ab+bc+ca)