已知函数F（X）满足：F（1）=1/4,4F(x)f（y)=f(x+y)+f(x-y),求F（2010）=网上有这个类似的回答，但是还是不太详细。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 00:37:47
已知函数F（X）满足：F（1）=1/4,4F(x)f（y)=f(x+y)+f(x-y),求F（2010）=网上有这个类似的回答，但是还是不太详细。
已知函数F（X）满足：F（1）=1/4,4F(x)f（y)=f(x+y)+f(x-y),求F（2010）=
网上有这个类似的回答，但是还是不太详细。
已知函数F（X）满足：F（1）=1/4,4F(x)f（y)=f(x+y)+f(x-y),求F（2010）=网上有这个类似的回答，但是还是不太详细。
令x=1,y=0
得4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
再令 y=1
得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)----①
f(x-1)=f(x)+f(x-2)----②
①②相加得 f(x+1)+f(x-2)=0
令A=x-3
得到f(x－2)+f(x－5)=0
又因为f(x-2)=－f(x+1)
所以得到f(x－5)=f(x+1)
1-(-5)=6
即最小正周期为6
因为2010能被6整除
所以f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2
令x = n, y = 1:
4F(n) F(1) = F(n+1) + F(n-1)
=> F(n+1) = F(n) - F(n-1)
=> F(n+1) = (F(n-1) - F(n-2)) - F(n-1) (用上边的等式替换F(n))
=> F(n+1) = -F(n-2)
=> F(n) = -F(n-3) = F(n-6)
因...
全部展开
令x = n, y = 1:
4F(n) F(1) = F(n+1) + F(n-1)
=> F(n+1) = F(n) - F(n-1)
=> F(n+1) = (F(n-1) - F(n-2)) - F(n-1) (用上边的等式替换F(n))
=> F(n+1) = -F(n-2)
=> F(n) = -F(n-3) = F(n-6)
因此可以看出这个数列（将n看为自然数）是以六为周期的。
2010能被6整除，因此F(2010) = F(0) = 0.5
（4F(1)F(0) = F(1) + F(1) => F(0) = 0.5）
不知道算错了没:P
收起
4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)=f(x)
即f(x+1)-f(x)+f(x-1)=0
x取x+1
f(x+2)-f(x+1)+f(x)=0
两式相加
f(x+2)+f(x-1)=0，即f(x+3)=-f(x)
即f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，说明周期为6
4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，f(0)=1/2
又2010/6=335，整除
所以f(2010)=a<2010>=a<0>=1/2