如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?试证明你的结论；⑵若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.

如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?试证明你的结论；⑵若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.
如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点
⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?试证明你的结论；
⑵若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.

如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?试证明你的结论；⑵若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.
（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE,∠A=∠B,AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CFE
∴DF=EF
∴DF=EF=DE
∴⊿DEF是等边三角形
（2）
∵⊿DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF,∠DEF=∠EFD=∠EDF=60º
在⊿BDE和⊿CEF中
∵∠DEB+∠CEF=180º-∠DEF=120º
∠DEB+∠BDE=180º-∠B=120º
∴∠BDE=∠CEF
又∵∠B=∠C,DE=EF
∴⊿BDE≌⊿CEF（AAS）
∴BE =CF
同理：
⊿ADF≌⊿BED
∴AD=BE
∴AD=BE=CF

（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CF...

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（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CFE
∴DF=EF
∴DF=EF=DE
∴⊿DEF是等边三角形
（2）
∵⊿DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，∠DEF=∠EFD=∠EDF=60º
在⊿BDE和⊿CEF中
∵∠DEB+∠CEF=180º-∠DEF=120º
∠DEB+∠BDE=180º-∠B=120º
∴∠BDE=∠CEF
又∵∠B=∠C，DE=EF
∴⊿BDE≌⊿CEF（AAS）
∴BE =CF
同理：
⊿ADF≌⊿BED
∴AD=BE
∴AD=BE=CF

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证明如下：
因：角ADE=角ADF+角EDF
角ADE=角B+角BED
角B=角EDF
所以：角ADF=角BED
又因：△ABC、△DEF是等边三角形，角A=角B=60°
所以角AFD=角BDF，DF=DE
所以三角形ADF全等三角形BED
所以AD=BE
同理，BE=CF
AD=BE=CF

（1）可从SAS方面着手证三角形ADF与三角形BDE全等，利用全等性质课的三角形DEF为正三角形
（2）用AAS证三角形BDE和三角形EFC，三角形ADF两两全等得出AD=BE=CF

（1）△DEF是等边三角形．
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；
（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，
∴DE=...

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（1）△DEF是等边三角形．
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；
（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AD=BE=CF．

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