求不定积分：secx的5次方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:51:05
求不定积分：secx的5次方
求不定积分：secx的5次方
求不定积分：secx的5次方
首先求∫sec^3(x) dx：记I=∫sec^3(x) dx,则I
=∫sec(x)*sec^2(x) dx
=∫sec(x)*[tan(x)]' dx
=sec(x)*tan(x)-∫[sec(x)]'*tan(x) dx
=sec(x)*tan(x)-∫[sec(x)*tan(x)]*tan(x) dx
=sec(x)*tan(x)-∫sec(x)*tan^2(x) dx
=sec(x)*tan(x)-∫sec(x)*[sec^2(x)-1] dx
=sec(x)*tan(x)-∫sec^3(x) dx+∫sec(x) dx
=sec(x)*tan(x)-I+ln|sec(x)+tan(x)|+C,
所以2I=sec(x)*tan(x)+ln|sec(x)+tan(x)|+C,
I=sec(x)*tan(x)/2+ln|sec(x)+tan(x)|/2+C,C为任意常数
然后求∫sec^5(x) dx：记J=∫sec^5(x) dx,则J
=∫sec^3(x)*sec^2(x) dx
=∫sec^3(x)*[tan(x)]' dx
=sec^3(x)*tan(x)-∫[sec^3(x)]'*tan(x) dx
=sec^3(x)*tan(x)-∫3sec^2(x)*[sec(x)*tan(x)]*tan(x) dx
=sec^3(x)*tan(x)-3∫sec^3(x)*tan^2(x) dx
=sec^3(x)*tan(x)-3∫sec^3(x)*[sec^2(x)-1] dx
=sec^3(x)*tan(x)-3∫sec^5(x) dx+3∫sec^3(x) dx
=sec^3(x)*tan(x)-3J+3I,
所以4J=sec^3(x)*tan(x)+3I,
J=sec^3(x)*tan(x)/4+3I/4
=sec^3(x)*tan(x)/4+3sec(x)*tan(x)/8+3ln|sec(x)+tan(x)|/8+C,
C为任意常数
我有三个方法: 第一和第二个方法都要先求出∫sec³xdx。 第一个方法，先拆开∫sec^5xdx,在代入∫sec³xdx解出。 第二个方法，首先用还原公式化简次方，再代入∫sec³xdx计算 第三个方法最快:用两次还原公式化简∫sec^5xdx，这样不用计算∫sec³xdx了。 但是要知道∫secxdx=ln|secx+tanx|+C。