证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)

证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)
证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)

证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)
推荐：给你一个简单的证明方法：构造函数法.我们注意到：ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],于是我们根据不等两边通项构造函：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增,又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0.即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],现将x用1/n（>0）替换整理可得：1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)],并将此不等式n项累加得：1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/(2n+2),于是原命题得证!

本题其实难在两个不等式的放缩，和一些简单的极限基本知识。
（1）首先你必须知道以下事实：
1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
2.f(x)=lnx，是以e为底的对数，叫自然对数。
（2）然后让我们用初等数学来证明两个解本题的基本结论
1.数列ax=(1+1/x)^x是单调递增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
证明：即...

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本题其实难在两个不等式的放缩，和一些简单的极限基本知识。
（1）首先你必须知道以下事实：
1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
2.f(x)=lnx，是以e为底的对数，叫自然对数。
（2）然后让我们用初等数学来证明两个解本题的基本结论
1.数列ax=(1+1/x)^x是单调递增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
证明：即证[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1) x是正整数
1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)个(x+1)次根号下[(1/x)^x*1/(x+1)]
[然后将x+1放到根号中去]
=(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
1+1/(x+1)>(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x 而e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
所以(1+1/x)^x2.数列ax=[1+1/(x-1)]^x是单调递减的，且其最小值即e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
证明：即证(1+1/x)^(x+1)<[1+1/(x-1)]^x
(1+1/x)^(x+1)=(1+2/x+1/x^2)*(1+1/x)*(1+1/x)*(1+1/x)...[x-1个(1+1/x)]<{[(1+1/x)(x-1)+1+2/x+1/x^2]/x}^x [均值不等式]
=(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x
而1+1/(x-1)=x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+1/x^3+1/x^4...1/x^n(n=∞)
所以1+1/(x-1)>1+1/x+1/x^2+1/x^3
所以(1+1/x)^(x+1)<(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x<[1+1/(x-1)]^x
而e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
所以e<[1+1/(x-1)]^x
其实，1.还可以用二项式定理证明，不过我不大记得了，你可以试试看。
(3)最后用数学归纳法证明此不等式1/2+1/3+……+1/n1.当n=2时，1/22.假定当n=k-1时，假定1/2+1/3+……+1/k-13.一方面,lnk-ln(k-1)=ln(k/k-1)=ln(1+1/k-1),e<[1+1/(k-1)]^k
两边取对手数，ln(1+1/k-1)>1/k,而1/2+1/3+……+1/k-1所以1/2+1/3+……+1/k另一方面(1+1/x)^x两边取对手数，ln(1+1/k-1)<1/(k-1),而ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
所以ln(k-1)+ln(1+1/k-1)=lnk<1+1/2+……+1/（k-1）
所以当n=k时，不等式成立。
综上，1/2+1/3+……+1/n实际上1+1/2+1/3...+1/n当n趋向于无穷大时，等于lnn，是发散的。

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抱歉二楼是我答的，有一处笔误，求导易得后面的第一个f(x)应该是导数f'(x)，少写了一“'”。觉得行，你可以采纳二楼哈，一楼好像与题不怎么粘边。