函数的基本性质 设f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),当x大于0时,有0小于f(x)小于1.(1)求证:f(0)=1,且当x小于0时,f(x)大于1.(2)证明:f(x)在R上单调递减
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:24:33
函数的基本性质 设f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),当x大于0时,有0小于f(x)小于1.(1)求证:f(0)=1,且当x小于0时,f(x)大于1.(2)证明:f(x)在R上单调递减
函数的基本性质
设f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),当x大于0时,有0小于f(x)小于1.
(1)求证:f(0)=1,且当x小于0时,f(x)大于1.
(2)证明:f(x)在R上单调递减
函数的基本性质 设f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),当x大于0时,有0小于f(x)小于1.(1)求证:f(0)=1,且当x小于0时,f(x)大于1.(2)证明:f(x)在R上单调递减
一取x=O因为对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),则恒有f(0+y)=f(0) X f(y),即恒有f(y)=f(0)×f(y)则f(0)=1
令x<0则1=f(0)=f(x-x)=f(x)×f(-x)因为 -x>0则 0<f(-x)<1 所以f(x)>1
二在R上任取a,b令a<b 由一得f(x)>0则由f(x+y)=f(x) X f(y),得f(x+y)÷f(x) = f(y),得f(x)÷f(y)=f(x-y)
则f(a)÷f(b)=f(a-b)因为a-b<0所以f(a-b)>1即f(a)>f(b)所以f(x)在R上单调递减
(1) f(x+y)=f(x)*f(y),
取x=0,y=0,代入上式,则f(0+0)=f(0)*f(0) 则 f(0)=1或f(0)=0,
但若 f(0)=0,则对R内任一元素x,f(0)恒等于0,故f9
1.
令Y=0,f(X)=f(X)*f(0),f(0)=0 再令y=-x,f(0)=f(x)*f(-x)=1
又当x大于0时,有0小于f(x)小于1,所以当x小于0时,f(x)大于1(x<0,-x>0)
2.
由题知道f(x)>0,设X1>X2,f(X1)=f(X2+X1-X2)=f(X2)*f(X1-X2)
f(X1)-f...
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1.
令Y=0,f(X)=f(X)*f(0),f(0)=0 再令y=-x,f(0)=f(x)*f(-x)=1
又当x大于0时,有0小于f(x)小于1,所以当x小于0时,f(x)大于1(x<0,-x>0)
2.
由题知道f(x)>0,设X1>X2,f(X1)=f(X2+X1-X2)=f(X2)*f(X1-X2)
f(X1)-f(X2)=f(X2)*{f(X1-X2)-1}
因为{f(X1-X2)-1}<0,f(X2)>0 所以 f(X1)-f(X2)<0,f(X)为减函数
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