怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数第二，请给出严格的证明第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 19:33:35
怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数第二，请给出严格的证明第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理
怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数
第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数
第二，请给出严格的证明
第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理数，有无穷多个无理数，
怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数第二，请给出严格的证明第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理
证明：设这两个有理数为a,b,且a
证明:
1) 往证(a,b)之间包含一个有理数c.
令x=b-a>0
根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.
不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)
则存在整数k>0, 使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.
则(h-1)/n
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证明:
1) 往证(a,b)之间包含一个有理数c.
令x=b-a>0
根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.
不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)
则存在整数k>0, 使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.
则(h-1)/n
所以,(h-1)/n为(a,b)内的有理数.
注:由于(a,b)之间包含一个有理数c,则(a,c)之间也包含一个有理数d,依次类推,(a,b)之间包含无穷
个有理数.
2) 往证(a,b)之间包含无穷个无理数.
大家知道有理数集是可数的,而(a,b)是不可数的,所以(a,b)内的无理数集肯定是不可数的
也即有无穷多个.
证毕.
收起
像圆周率是小数但就不是有理数
很简单你就证明一个数小数点后有无穷个数就好了