证明素数有无穷多个
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 04:19:06
证明素数有无穷多个
证明素数有无穷多个
证明素数有无穷多个
假设素数只有p1,p2...pn个
构造p=p1p2p3*.*pn+1
可见p不能被p1,p2.pn整除
所以p是质数
又p不等于p1,p2...pn
所以矛盾
所以素数有无数个
欧几里得的经典反证，反证：假设只有p个（有限）质数a1,a2……ap
则构造N=a1a2a3……ap+1，这个数被a1除余1，被a2除余1，被a3除余1……等等。所以N与之前的p个质数互质，所以这个数也必然是质数。矛盾！
所以质数有无限个。
我补充楼上的部分，因为我觉得楼上没有把关键点说明清楚。（构造p=p1p2p3*....*pn+1
可见p不能被p1,p2....pn整除）。
证明：假设素数只有p1,p2...pn个，令p=p1p2p3*....*pn+1，如果p是素数，而p显然大于p1,p2....pn，所以素数至少为n+1个，这与假设矛盾。若p不是素数，那p必定有一个最小的质因数a。由pi(i=1,2,3......
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我补充楼上的部分，因为我觉得楼上没有把关键点说明清楚。（构造p=p1p2p3*....*pn+1
可见p不能被p1,p2....pn整除）。
证明：假设素数只有p1,p2...pn个，令p=p1p2p3*....*pn+1，如果p是素数，而p显然大于p1,p2....pn，所以素数至少为n+1个，这与假设矛盾。若p不是素数，那p必定有一个最小的质因数a。由pi(i=1,2,3...n)|p1p2p3*....*pn[即p1,p2....pn均整除p1p2p3*....*pn或者说p1p2p3*....*pn被p1,p2....pn均整除，后同]，即pi(i=1,2,3...n)|(p-1)，若pi(i=1,2,3...n)|p，则pi(i=1,2,3...n)整除1，这显然不成立（素数最小为2，1比2小，显然2不整除1，后面的更不会），那么p的最小质因数不是p1,p2...pn，所以在p1,p2...pn还有素数，这也矛盾。故素数有无穷多个。
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