证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/16 18:52:29

证明群G的子集H是G的子群,当且仅当h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H证明群G的子集H是G的子群,当且仅当h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H证明群G的子集H是G的子群,当且仅当h≠Φ,a,b∈

证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H

证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
必要性:
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.

证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H G是群,A,B是G的子群,证明AB是G的子群当且仅当AB=BA 抽象代数：G是有限群,n||G|,G中仅一个n阶子群H,证明H是G的正规子群证明：设G是有限群,n整除|G|,且G中仅有一个n阶子群H,则H是G 的正规子群. 设G是一个群,H,N是G的子群,证明:H,N的交是G的子群 G有唯一n阶子群,证明：H是G的正规子群.先到先得. 设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群设G是群,H,K是G的子群,且a,b属于G,使aH=bK,证明:H=K 近世代数证明题,讲明白有加分.证明：设H,K是有限群G的子群,则|HK||H∩K|=|H||K|.其中HK={hk:h∈H,k∈K}.(不一定为子群,且H,K不一定为G的不变子群）求高手解决有关离散数学（群,陪集）的一道题,如下设H是群G的子群,证明：H在G中的所有左和右陪集中有且只有一个子群. 离散数学（子群）设f和g都是到的群同态,且H={x|x∈G1,f(x)=g(x)},证明H是G1的子群. 简单抽象代数题G是循环群~H是G的子群~证明G/H 是循环群群的证明题设K 和H 都是群G 的子群,试证,若H· K 是G 的子群,则K· H =H·K . 设H,K分别是群G的阶为3,5的子群,证明H∩G={1} 抽象代数证明题：设H是群G的一个非空子集,且H中每个元素的阶都有限.证明：H G为群,H是G的子群,定义N(H)={g∈G|gHg^(-1)=H},证：N(H) 代数结构习题求教：H是G的正规子群,[G:H]=m.证明：对于G的任意元素x,x^m∈H. 设H和K都是群G的子群,试证H∪K是G的子群;H∪K也一定是G的子群吗?求高手回答,谢谢急用