已知n是大于1 的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 10:27:37
已知n是大于1的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差已知n是大于1的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差已知n是大于1的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差n^3=a^2b^2

已知n是大于1 的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差
已知n是大于1 的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差

已知n是大于1 的整数,求证:n^3可以写成两个正整数的平方差
n^3=a^2b^2=(a+b)(a-b)=n^2*n
则不妨设a+b=n^2
a-b=n
a=(n^2+n)/2=n(n+1)/2
b=(n^2-n)/2=n(n-1)/2
因为n和n+1是相邻整数,所有必有一个是偶数,所以n(n+1)是偶数,所以a是正整数
同理b也是正整数
所以n^3可以写成两个正整数的平方差

n^3
=n*n^2
=[n(n+1)/2-n(n-1)/2]*[n(n+1)/2+n(n-1)2]
=[n(n+1)/2]^2-[n(n-1)/2]^2