在三角形ABC中,sinB/sinA=2cos(A+B),则tanB的最大值为?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 17:33:33
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∵sinB/sinA=2cos(A+B)=-2cosC
∴sinB=-2sinAcosC
sin(A+C)=-2sinAcosC
sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC
∴cosAsinC=-3sinAcosC
∴tanC=-3tanA
∴tanB=-tan(A+C)
=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
=2tanA/(1+3tan²A)
=2/(1/tanA+3tanA)
tanA>0时,才可以取得最大值
∵1/tanA+3tanA≥2√3
(均值定理,1/tanA=3tanA时,取等号)
∴2/(1/tanA+3tanA)≤√3/3
∴tanB≤√3/3
即tanB的最大值为√3/3