用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:22:43
用数学归纳法证明n大于等于10时,2^n>n^3用数学归纳法证明n大于等于10时,2^n>n^3用数学归纳法证明n大于等于10时,2^n>n^3证明:(1)当n=10时,2^n=1024>1000=n

用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3

用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
证明:(1)当n=10时,2^n=1024>1000=n^3,∴结论对n=10成立
(2)假设结论对一切n大于等于10皆成立,即有2^n>n^3,
则对n+1,左边为2^(n+1)=2*2^n=2^n+2^n,右边为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,左边减右边=(2^n+2^n)-(n^3+3n^2+3n+1),由(2)知(2^n-n^3)>0,故只须证(2^n-3n^2-3n-1)>0对n>10皆成立,即2^n>3n^2+3n+1,又1>3n^2+3n+1/2^n(这是因为n趋于无穷时不等式右边极限为零,且右边是关于n的单调递减数列,故n=10时,1>3n^2+3n+1/2^n,所以n>10时更加成立)这个不等式两边同乘以2^n即证得所要证的不等式.

证明:当n=10时,2^10>10^3
假设n=k时(k大于10,k∈N+),2^k>k^3
当n=k+1时,2^(k+1)=2^k×2 (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1
∵2^k>k^3 (啊....我2^k>3k^2+3k+1不会证,你自己会不会,我就画了图像)
然后再...

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证明:当n=10时,2^10>10^3
假设n=k时(k大于10,k∈N+),2^k>k^3
当n=k+1时,2^(k+1)=2^k×2 (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1
∵2^k>k^3 (啊....我2^k>3k^2+3k+1不会证,你自己会不会,我就画了图像)
然后再写2^(k+1)>(k+1)^3
所以当n>10时,2^n>n^3

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证明:当n=10时,2^10=1024>10³=1000成立
假设n=k时成立
即2^k>k³成立
当n=k+1时
2^(k+1)-(k+1)³
=2[2^k-1/2(k+1)³]
又k³-1/2(k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1
当k≥10时,k...

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证明:当n=10时,2^10=1024>10³=1000成立
假设n=k时成立
即2^k>k³成立
当n=k+1时
2^(k+1)-(k+1)³
=2[2^k-1/2(k+1)³]
又k³-1/2(k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1
当k≥10时,k³-1/2(k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1>0
所以
2^(k+1)-(k+1)³
=2[2^k-1/2(k+1)³]>0
所以当n=k+1时也成立
所以 n大于等于10时,2^n>n^3

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