用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:58:27
用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
证明：（1)当n=10时,2^n=1024＞1000=n^3,∴结论对n=10成立
(2)假设结论对一切n大于等于10皆成立,即有2^n＞n^3,
则对n+1,左边为2^(n+1)=2*2^n=2^n+2^n,右边为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1,左边减右边=（2^n+2^n）-（n^3+3n^2+3n+1）,由(2)知（2^n-n^3）＞0,故只须证（2^n-3n^2-3n-1）＞0对n＞10皆成立,即2^n＞3n^2+3n+1,又1＞3n^2+3n+1/2^n（这是因为n趋于无穷时不等式右边极限为零,且右边是关于n的单调递减数列,故n=10时,1＞3n^2+3n+1/2^n,所以n＞10时更加成立）这个不等式两边同乘以2^n即证得所要证的不等式.
证明：当n=10时，2^10＞10^3
假设n=k时（k大于10，k∈N+），2^k＞k^3
当n=k+1时，2^（k+1）=2^k×2 （k+1）^3=k^3+3k^2+3k+1
∵2^k＞k^3 （啊....我2^k＞3k^2+3k+1不会证，你自己会不会，我就画了图像）
然后再...
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证明：当n=10时，2^10＞10^3
假设n=k时（k大于10，k∈N+），2^k＞k^3
当n=k+1时，2^（k+1）=2^k×2 （k+1）^3=k^3+3k^2+3k+1
∵2^k＞k^3 （啊....我2^k＞3k^2+3k+1不会证，你自己会不会，我就画了图像）
然后再写2^（k+1）＞（k+1）^3
所以当n＞10时，2^n>n^3
收起
证明：当n=10时，2^10=1024＞10³=1000成立
假设n=k时成立
即2^k＞k³成立
当n=k+1时
2^（k+1)-（k+1)³
=2[2^k-1/2（k+1)³]
又k³-1/2（k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1
当k≥10时，k...
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证明：当n=10时，2^10=1024＞10³=1000成立
假设n=k时成立
即2^k＞k³成立
当n=k+1时
2^（k+1)-（k+1)³
=2[2^k-1/2（k+1)³]
又k³-1/2（k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1
当k≥10时，k³-1/2（k+1)³=1/2k³-3k²-3k-1＞0
所以
2^（k+1)-（k+1)³
=2[2^k-1/2（k+1)³]＞0
所以当n=k+1时也成立
所以 n大于等于10时，2^n>n^3
收起