求证:一个奇数的平方被8除必须余1.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:33:14
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求证:一个奇数的平方被8除必须余1.
求证:一个奇数的平方被8除必须余1.

求证:一个奇数的平方被8除必须余1.
奇数可以表示为2k+1
(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1
k和k+1中必有一个是偶数
因此k(k+1)是偶数
4k(k+1)可以被8整除
(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1被8除必余1

设奇数为2n+1,n=0,1,2,3.....
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1
n=0,1,2,3.....,则n与n+1中必有一个为偶数,所以4n(n+1)比能被8整除
所以(2n+1)^2被8除必余1.即一个奇数的平方被8除必须余1

设这个奇数为2N+1,N从0开始取正整数。对这个奇数平方后的4N²+4N+1,对这个式子进行变形得4×N×(N+1)+1,此式子第一项中N×(N+1)必定一个为奇数一个为偶数,其乘积必定为偶数,故而可以提取一个2出来,2×4为8,所以这个式子的第一项必定整除8,第二项为余数1....

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设这个奇数为2N+1,N从0开始取正整数。对这个奇数平方后的4N²+4N+1,对这个式子进行变形得4×N×(N+1)+1,此式子第一项中N×(N+1)必定一个为奇数一个为偶数,其乘积必定为偶数,故而可以提取一个2出来,2×4为8,所以这个式子的第一项必定整除8,第二项为余数1.

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证明:设奇数为:2n+1,n∈Z+;∵(2n+1)^2=4n^2+4n+1 =4n(n+1)+1
∴(2n+1)^2/8=[4n(n+1)+1]/8
=[n(n+1)/2]+(1/8)
∴无论n取何值,n(n+1)都被2整除
∴一个奇数的平方被8除必余1