在锐脚三角形ABC中,证明sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 15:18:31
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在锐脚三角形ABC中,证明sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
在锐脚三角形ABC中,证明sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

在锐脚三角形ABC中,证明sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
∵△ABC是锐角三角形,
∴A<π/2,B+C>π/2,得B>π/2-C,
由于正弦函数sinx在(0,π/2)上是增函数,那么
sinB>sin(π/2-C)=cosC,
同理,sinC>cosA,sinA>cosB,
三式相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

∵∠A+∠B>90°
∴∠A>90°-∠B
∴sinA>sin(90°-∠B)
∴sinA>cos∠B
同理,sinB>cosC
sinC>cosA
∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC