一道关于三角形的初中数学竞赛题如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的

一道关于三角形的初中数学竞赛题如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的
一道关于三角形的初中数学竞赛题
如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 .

一道关于三角形的初中数学竞赛题如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的
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我不知道你是初几，但是参加数学竞赛应该至少知道相似三角形，
很容易证得Rt△ABC≌Rt△ABA1≌Rt△ABB1,于是有：Rt△ABB1面积/Rt△ABA1面积=（1/2*AA1*BA1）/(1/2*A1B1*BB1)=(AA1/A1B1)*(BA1/BB1)=(AB/A1B)*(AB/A1B)=(AB/A1B)的平方=AC/BC的平方=5/4的平方=25/16，
...

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我不知道你是初几，但是参加数学竞赛应该至少知道相似三角形，
很容易证得Rt△ABC≌Rt△ABA1≌Rt△ABB1,于是有：Rt△ABB1面积/Rt△ABA1面积=（1/2*AA1*BA1）/(1/2*A1B1*BB1)=(AA1/A1B1)*(BA1/BB1)=(AB/A1B)*(AB/A1B)=(AB/A1B)的平方=AC/BC的平方=5/4的平方=25/16，
类似证得Rt△A1B1A2/Rt△A2B1B2面积=25/16
等等等等
于是所有白色面积/阴影面积=25/16
即所有阴影三角形的面积之和为16/(25+16)*总面积=16/41*6=96/41
可能看起来麻烦一点，但是思路是比较简单的

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AB=3
BA1=12/5
AA1=9/5
A1B1=48/25
BB1=36/25
2S△AA1B=AA1*BA1=108/25
2S△BB1A1=A1B1*BB1=1728/625
S△AA1B/S△BB1A1=108*25/1728=25/16
类推得阴影三角形面积之和占总面积的16/41
所以面积之和为6*16/41=96/41

AB=3，BC=4,则AC=5
因: RT三角形ABC相似于RT三角形AA1B相似于RT三角形A1B1B
所以: AB/BC=AA1/A1B=BB1/A1B1=3/4, AA1=(3/4)A1B, BB1=(3/4)A1B1
A1B/A1B1=AC/BC=5/4
三角形AA1B面积/三角形A1B1B面积=AA1*A1B/(A1B1*BB1)
=(A1B/A1...

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AB=3，BC=4,则AC=5
因: RT三角形ABC相似于RT三角形AA1B相似于RT三角形A1B1B
所以: AB/BC=AA1/A1B=BB1/A1B1=3/4, AA1=(3/4)A1B, BB1=(3/4)A1B1
A1B/A1B1=AC/BC=5/4
三角形AA1B面积/三角形A1B1B面积=AA1*A1B/(A1B1*BB1)
=(A1B/A1B1)^2=(5/4)^2=25/16
同理:
三角形A1A2B1面积/三角形A2B2B1面积=三角形A2A3B2面积/三角形A3B3B2面积=...=25/16
所以: 所有非阴影三角形的面积之和/所有阴影三角形的面积之和=(三角形AA1B面积+三角形A1A2B1面积+三角形A2A3B2面积+...)/(三角形A1B1B面积+三角形A2B2B1面积+三角形A3B3B2面积+...)=25/16
(所有非阴影三角形的面积之和+所有阴影三角形的面积之和)/所有阴影三角形的面积之和=(25+16)/16=41/16
三角形ABC的面积/所有阴影三角形的面积之和=41/16
所有阴影三角形的面积之和=(16/41)三角形ABC的面积=(16/41)*(1/2)AB*BC=96/41

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因为∠ABC=90°
所以△ABC为直角三角形
所以AB^2+BC^2=AC^2(勾股定理)
因为AB=3,BC=4
又因为AC大于0
所以AC=5
S△ABC=0.5*AC*BC=0.5*AC*A1B
因为AB=3,BC=4,AC=5
所以A1B=(3*4)/5=2.4
因为BA1⊥AC,A1B1⊥BC
所以∠BA1...

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因为∠ABC=90°
所以△ABC为直角三角形
所以AB^2+BC^2=AC^2(勾股定理)
因为AB=3,BC=4
又因为AC大于0
所以AC=5
S△ABC=0.5*AC*BC=0.5*AC*A1B
因为AB=3,BC=4,AC=5
所以A1B=(3*4)/5=2.4
因为BA1⊥AC,A1B1⊥BC
所以∠BA1C=∠A1B1B=90°=∠ABC
所以∠A1BA=90°-∠A1BB1,∠A=90°-∠A1BA
所以∠A=∠A1BB1
因为∠A1B1B=∠ABC
所以△ABC相似于△A1B1B
所以AB/BB1=BC/A1B1=AC/A1B
因为AB=3,BC=4,AC=5,A1B=2.4
所以得A1B1=1.92,BB1=1.44
易得四边形AA1B1B为梯形
所以S△A1B1B/S梯形AA1B1B=
0.5*A1B1*BB1/0.5*BB1*(A1B1+AB)
=0.5*1.92*1.44/0.5*1.44*(1.92+3)
=16/41
因为S△ABC=0.5*AB*AC=0.5*3*4=6
所以S阴影=(S梯形AA1B1B+S梯形A1A2B2B1+...)*
(16/41)=S△ABC*(16/41)=6*(16/41)=96/41

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