已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,求b/a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:46:06
已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,求b/a的取值范围
已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,求b/a的取值范围
已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,求b/a的取值范围
【1】
因为a,b,c均为正数,条件不等式的各边均除以c,
可得：5-3(a/c)≤b/c≤4-(a/c)
令：x=a/c,y=b/c.上面不等式可化为：
5-3x≤y≤4-x.
即：5-3x≤y ,且 4-x≥y.
这个不等式组确定的规划域,就是直线5-3x≤y以下,
直线4-x≥y以上的部分,y轴的右边.
其实,就是以A(0,5),B(0,4),C(1/2,7/2)三点为顶点的三角形
不包括AB边.
clnb≥a+clnc.===>c(lnb-lnc)≥a.===>ln(b/c)≥a/c
===>lny≥x.===>y≥e^x.
易知,由这个不等式确定的规划域,就是曲线y=e^x的上部,
数形结合可知,这个规划域包括上面的规划域.
∴由上面不等式确定的规划域,就是以
A(0,5),B(0,4),C(1/2,7/2)为顶点的三角形,（不包括AB边）
【2】
显然,b/a=(b/c)/(a/c)=y/x.
y/x的意义,就是过原点O(0,0)与规划域内的点P( x,y)的直线的斜率k.
数形结合可知：k≥7.
∴y/x∈[7,+∝)
即：b/a∈[7,+∞)
；5c-3a<=4c-a，c/a<=2 从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。 当然本题或许可以从几何的角度，,
答案好想是（e，7]
首先，4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0
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首先，4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1.
从而b/a的取值范围是[e,7]双闭区间
收起